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设点集B满足,对任给ε>0,都存在可测集A,使得m*(AΔB)<ε,证明B是可测集,还有什么解法? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

很好的观察!我同意你说这个证明有问题的理由。

这个命题中,如果把条件换成 是有限个有界闭区间的并,那么这个命题就是所谓的Littlewood第一原则,也是baby rudin对于勒贝格测度的定义。当然题主这个命题还是要强一些,不过没有本质的区别。下面我来提供这种证明。

(你这个符号上面用 ,下面用 ,我就统一用 了)

这里使用可测的一个等价条件: 可测,等价于对任何 ,存在开集 使得 。现在对任何 ,看看能不能找到这样的开集 。

首先由条件,会存在可测集 使得 。由 可测,存在开集 使得 ,此时

同时由外测度的定义,存在开集 使得 。令 ,则 是开集,并且有

故 。

这样,我们就证明了 是可测集。




  

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