如何证明Osgood定理？ 第1页
1
RealFiddie 网友的相关建议:
定理(Osgood) 设单位圆盘。如果是上逐点收敛到的全纯函数序列，则存在的稠密开集使得在上全纯。[1]
证明：设 是 的非空开子集，且 定义
由于 逐点收敛，则对任意固定的 是有界集，所以每个 都位于某个 中，所以
由Baire纲定理，存在 使得 所以存在开球 .
由Montel定理（Stein书的第八章定理3.3(ii)）， 存在子列 使得在 的每个紧子集都一致收敛于 ，当然这里 和 相等，而且 在 中全纯. （注意全纯函数序列的一致收敛极限也是全纯的，见Stein书的第二章定理5.2(Morera定理的推论)。）
由 的任意性，结论证毕.
注：(1)Baire纲定理（学过实变泛函的同学应该都会）
(2)Morera定理与它的推论
(3)Montel定理
参考
1
相关话题
为什么矩形面积等于长乘宽？柯西黎曼条件为什么这么神奇?
“可分度量空间”的名字是怎么来的？
学随机分析需要把实分析和泛函学的很深吗?
Riemann-Roch定理在数论里有什么应用？
若 a=0.248163264128256...，请问 a 是否为有理数？理由是什么？
如何计算这个积分？
请问开集和闭集如何理解？
符号测度的Lebesgue分解与泛函里面的正交分解有什么关系么？
数学分析中的两个反例是否有更深的背景？
前一个讨论
高考数学导数题是怎么命制的？
下一个讨论
如何证明一个数 n 的因子之和是 O(n) 的？
相关的话题
收敛都是在某度量下而言的吗？依测度收敛是某度量下的收敛吗？柯西黎曼条件为什么这么神奇?
Cauchy定理的证明是否依赖于Jordan曲线定理？
Rokovsky函数(f(z)=1/2(z+1/z))分别将上半平面与下半平面映射成什么？
这个极限怎么凑成积分?
定义域为空集的空函数该怎么理解？
Lp空间上的分析学在其他数学分支有哪些应用？
如何证明这个实分析的不等式？
如何证明空集不是任意集合的子集？
如果从图中移去一个边的一个集合将增加亚图的数目时，被移去的边的集合就成为截。”那么，亚图是什么？截呢？
如何证明这个"推广的Riemann重排定理"？
Lp空间上的分析学在其他数学分支有哪些应用？
Lp空间上的分析学在其他数学分支有哪些应用？
（动力系统 + 拓扑学 + 抽象代数）和（泛函分析 + 实变函数 + 复分析和解析几何）有哪些联系？
实数轴上还存在人类未知的数吗？
如何证明可测函数被多项式逼近？
简单光滑道路的不同参数表达 在其上积分是否一定相同？
如何证明这个收敛性问题？
设点集B满足，对任给ε>0，都存在可测集A，使得m*(AΔB)<ε，证明B是可测集，还有什么解法？
如何证明这个复分析问题？
如何评价Stein的实分析以及复分析翻译版本？
是否任一无穷集合都能分成两个等势的不交集合之并？
如何证明两个有理数平方和不能为 7？
无穷个集合的交（或者并）运算总是成立的吗？为什么？
是否所有简单闭曲线都同胚与圆周？
Pn(z)是首项系数为1的n次多项式，怎么证明当|z|<=1时，|Pn(z)|的最大值大于等于1？
如何证明下面的复分析问题？
收敛都是在某度量下而言的吗？依测度收敛是某度量下的收敛吗？
如何评价Stein的实分析以及复分析翻译版本？
为什么现代数学经常会关心整体性质？能不能举例详细说说？