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如何证明Osgood定理? 第1页

  

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定理(Osgood) 设单位圆盘。如果是上逐点收敛到的全纯函数序列,则存在的稠密开集使得在上全纯。[1]

证明:设 是 的非空开子集,且 定义

由于 逐点收敛,则对任意固定的 是有界集,所以每个 都位于某个 中,所以

由Baire纲定理,存在 使得 所以存在开球 .

由Montel定理(Stein书的第八章定理3.3(ii)), 存在子列 使得在 的每个紧子集都一致收敛于 ,当然这里 和 相等,而且 在 中全纯. (注意全纯函数序列的一致收敛极限也是全纯的,见Stein书的第二章定理5.2(Morera定理的推论)。)

由 的任意性,结论证毕.


注:(1)Baire纲定理(学过实变泛函的同学应该都会)

(2)Morera定理与它的推论

(3)Montel定理

参考

  1. ^ https://www.math.wustl.edu/~sk/limits.pdf



  

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