如何证明Osgood定理？ 第1页
1
RealFiddie 网友的相关建议:
定理(Osgood) 设单位圆盘。如果是上逐点收敛到的全纯函数序列，则存在的稠密开集使得在上全纯。[1]
证明：设 是 的非空开子集，且 定义
由于 逐点收敛，则对任意固定的 是有界集，所以每个 都位于某个 中，所以
由Baire纲定理，存在 使得 所以存在开球 .
由Montel定理（Stein书的第八章定理3.3(ii)）， 存在子列 使得在 的每个紧子集都一致收敛于 ，当然这里 和 相等，而且 在 中全纯. （注意全纯函数序列的一致收敛极限也是全纯的，见Stein书的第二章定理5.2(Morera定理的推论)。）
由 的任意性，结论证毕.
注：(1)Baire纲定理（学过实变泛函的同学应该都会）
(2)Morera定理与它的推论
(3)Montel定理
参考
1
相关话题
“可分度量空间”的名字是怎么来的？简单光滑道路的不同参数表达 在其上积分是否一定相同？
不定积分∫dx/(2 + sinx)在x = π+2kπ处，为何会这样？这是不定积分的某种“特性”吗？
勒贝格积分、数学分析、实分析 、泛函分析、 测度论 之间的关联以及先后学习次序是怎样的?
如何证明Vitali定理？
整函数f(z)满足lim(z→∞)Re(f(z))/z=0，则f是常数吗？
如何证明这个复变函数列的一致收敛性？
如何证明下面的复分析问题？
Cauchy定理的证明是否依赖于Jordan曲线定理？
与1相邻的实数存在吗？
前一个讨论
高考数学导数题是怎么命制的？
下一个讨论
如何证明一个数 n 的因子之和是 O(n) 的？
相关的话题
如何看待中国矿业大学杨小军研究员宣称自己解决黎曼猜想？有没有目前不知道是否收敛的级数?
设点集B满足，对任给ε>0，都存在可测集A，使得m*(AΔB)<ε，证明B是可测集，还有什么解法？
复变函数、实分析、复分析、数学分析是什么关系？
若 a=0.248163264128256...，请问 a 是否为有理数？理由是什么？
如何证明这个"推广的Riemann重排定理"？
如何证明Osgood定理？
如何评价Stein的实分析以及复分析翻译版本？
怎么求解这个极限问题？
零测集的子集是否可测？
与1相邻的实数存在吗？
有限覆盖定理和实数连续性有什么关系？
R^2 与 C 的区别在哪里？为什么有数学家认为复数用 a+bi 表示不好？
数学中为什么要定义各种空间？
赋范空间和度量空间都可以定义极限，为什么要引入两个能定义极限的空间呢，区别是什么，各自有哪些应用范围？
Riemann-Roch定理在数论里有什么应用？
怎么得到这个不等式?
如何证明两个有理数平方和不能为 7？
如何证明Painlevé连续开拓原理？
如何证明这个复分析问题？
定义域为空集的空函数该怎么理解？
Lp空间上的分析学在其他数学分支有哪些应用？
Cauchy定理的证明是否依赖于Jordan曲线定理？
作为维数公式的黎曼-洛赫定理在数学上的重要性体现在什么地方？
勒贝格积分、数学分析、实分析 、泛函分析、 测度论 之间的关联以及先后学习次序是怎样的?
如何证明两个有理数平方和不能为 7？
如何证明下面的复分析问题？
有限覆盖定理和实数连续性有什么关系？
怎么得到这个不等式?
除了Weierstrass函数，还有哪些处处连续处处不可导的实变函数的具体例子？