请问该如何证明？ 第1页

令 为可数个开区间的并满足 ,

则可知 (注： 就是所谓的等测包)。

令 , 可知 可测，并且 ,那么 ， 因为 ，所以 （想象一下集合的维恩图）

这时由于

可得

这时，利用 的可测性和Caratheodory条件，

可得 ， 因此， 可测。

从而有 可测。

默认这里的measurable是指 中的Lebesgue measurable。这里需要一个引理，如果 是无交并，并且其中有一个是闭集，那么 。

关于第一问，因为 是Lebesgue measurable的，所以对任何 ，存在一个闭集 使得 。根据无交并 并且 是闭集知 （条件 可以保证这里的减号是良定义的，下面类似的情况将不再说明）。

根据outer measure的定义，存在开集 使得 。

令 ，则显见 ，并且 是闭集的交，故还是闭集。同时 ，故 。

直接计算有

因此我们证明了：对于任何 ，总存在闭集 使得 ，这就表明 是measurable的。于是 是measurable的。

第二问那个等式实际上是Caratheodory条件，当然这里就直接从第一问推出来就好了。从左往右的方向是因为 显见都是Lebesgue measurable的，而Lebesgue measure具有可列可加性。从右往左的方向是因为第一问。

（看这个记号很像Stein的风格，回头查了一下，果然是Stein的Real analysis中Chapter 1的第5题）