没有基的线性空间，是否可以构造，如何构造？ 第1页
1
dhchen 网友的相关建议:
谢邀：你这个问题在MSE上已经被讨论过了：
最重要的知道“任何一个向量空间都有基”和“选择公里”是等价的。 Andreas Blass 在1984年证明了如果“任何一个向量空间都有基”那么“选择公理”成立。
不承认选择公理有两种情况：1,假设它是错的，2.不去理会它的对错，独立于它。
1.假设“选择公里是错误的”（这和不假设选择公里是两回事），那么你自然可以构造出一个没有基的向量空间。因为它们是一回事。也就是说你只能通过假设来证明这个空间存在。
2 首先，离开选择公理后，你需要选择一个公理系统，这个系统独立于选择公理论，不去假设它的对错，那么抱歉，你自然无法证明这个命题"一个线性空间是否一定有基"，因为这个系统是独立于选择公理的。我们常见的系统ZF被证明是独立于选择公理的。 这也就是在我们默认的公理系统ZF下，你无法证明是否存在一个没有基的向量空间。自然你也不可能构造出反例。
下面是 Andreas Blass 的论文
http://www. math.lsa.umich.edu/~abl ass/bases-AC.pdf
不只是这个命题，下面的命题和都选择公理是等价
1
相关话题
如何理解庞加莱对偶（Poincare Duality）?实数中乘法不是加法的复合么？为什么乘法与加法并列提及？
在初等数学范围内，是否所有拥有递推公式的数列都可求对应的通项公式？
极小多项式有什么几何含义，怎么形象的理解这个概念？
如何证明 2 的平方根不是有理数？
用5，5，5，7四个数字怎么算24点？
国内大学数学系都上什么课程？
美国普通人的算术到底差到何种地步？
高中数学有没有可能在往后的人生中几乎用不到，如果有，那我们学习的意义是什么？
如何快速判断一个人的数学水平？
前一个讨论
凸分析和凸优化有什么推荐的教材吗？
下一个讨论
怎么在家用烤箱烤鸡？
相关的话题
为什么科学家认为数学是支持科学理论的必要条件？北大数学天才韦东奕手拿馒头矿泉水受访，他在数学领域取得了哪些成就？给我们哪些启示？
这个级数怎么处理?
如何计算一只鸡的表面积？
如何评价「Shut up and calculate」这句话？
有哪些神奇的数学巧合？
什么是 Finsler Geometry？它与 Riemann 几何有什么关系？
为了使R^n成为向量空间，R^n中的加法运算和数乘运算是唯一的吗？
小数点后可以有无数位，为什么两个物体仍可以相互接触？
如果你来讲物理类《线性代数》课程，你会如何设计？
前N个整数的最小公倍数有没有近似公式？
质数集P与自然数集N等势吗?
能不能出一道很难的数学题，答案是 629，宿舍当门牌用？
以「不可证伪」批判中医的人，为什么没有以此批判数学？
是否存在某些问题不能用有限步骤解决？
这个定积分应该怎样计算呢?
5是一个已知数，设5＝x或者x＝5，这两个表达的意思在数学和语文表达正确吗？
一道复变函数证明题怎么做？
第十题证明题不会写，哪个大佬帮我看一下?
这两个级数该怎么解答？
以「维数」为自变量的函数怎样表示和画图象？
如何通俗易懂地解答双信封悖论？
为什么熵值最大的分布状态是正态分布而不是均匀分布？
怎么看待「学数学没啥用，买菜难道还用得上微积分」的理论？
请问σ-代数（sigma-algebra）的含义是什么，能否举例说明？
为什么总有数学专业的人觉得自己什么都懂？
如何求解此题？
《现代数学基础丛书》的封面图有什么数学背景？
是否存在一不等于0的完全平方数，使得它成为连续质数个整数之积？
如何证明π是圆周率？