正整数 (m, n) 如何取值使得 m*n-pi*n^2 的绝对值最小？ 第1页

原问题即为

完全不会数论，所以以下的回答全是我查资料查的（所以我回答的可信度取决于资料的可信度）。。。

无理数 的Markov constant定义为 ^[1]。容易知道：

• （为什么？根据 的定义，存在一列 使其单调递增趋于 ，并且 有无数个解，故 。然后不等式两端令 即得）。
• 等价于 （从左推右是上一条，从右推左是因为，假设结论不成立，即 ，那么使得 的 只有至多有限个。再结合 是无理数的事实知道 ，与条件矛盾）

设 是无理数 的连分数展式序列 ，根据维基百科^[1]，

• 假如 有界，且上极限是 ，那么 ，因此
• 无界，等价于 ，这还等价于

所以原问题等价地归结为 这个序列（OEIS A001203^[2]）是否是有界的，如果有，界大概是多少。我在网上找了一圈，居然连是否有界都没找到结果。下表给出了这个序列前 项（ ）的最大值

可以看出，按这个趋势，看起来像是无界的吧，所以我猜测

另外放一些已知的结果：

• 别人回答的评论区也有人提到，如果 的irrationality measure 严格大于 ，那么 （所谓 的irrationality measure，就是指使得 对至多有限个 成立的 下确界。显而易见， 蕴含 。但对于 ，我们目前只知道 ，是否有 还不得知。如果 ，那好像什么也推不出来：）
• 如果把 换成 ，那么 ^[3]；但如果把 换成二次根式（比如 ），那么 （因为 的连分数展式是循环的，从而有界）。
• 对任意无理数 ，都有 ，这是所谓的Hurwitz定理^[4]：对任何无理数 ，都有无数对 使得

参考

1. ^ ^{a b} https://en.jinzhao.wiki/wiki/Markov_constant
2. ^ http://oeis.org/A001203
3. ^ https://math.stackexchange.com/questions/2126551/do-we-know-a-transcendental-number-with-a-proven-bounded-continued-fraction-expa
4. ^ https://en.jinzhao.wiki/wiki/Hurwitz%27s_theorem_(number_theory)