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收敛都是在某度量下而言的吗?依测度收敛是某度量下的收敛吗? 第1页

  

user avatar   dhchen 网友的相关建议: 
      

谢邀,第一个是错的。 有些收敛和度量没关系,比如无限维赋范空间上的弱拓扑,它就和度量没关系。它不可能由任何度量引导出来。 本质上的原因是弱拓扑不是第一可数的 (first countable)。值得一提的是, Frechet证明(一般情况下)几乎处处收敛不可能由度量引导出来。

你的第二个问题就有点“模糊”了,因为你没定义“拓扑”,或者说你没说清楚什么叫“是某度量下的收敛”。设 是一个有限测度空间, 是全部可测实值函数构成,那么我们可以定义度量

那么可以证明 以测度收敛到 , 当且仅当 . 当然了,这不是唯一的,比较出名的还有(Frechet引入)

Ky Fan使用的则是

具体的可以参考下面这本书。




  

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