如何证明下面有关紧致集合连通性的问题？ 第1页

以下均假设 非空. 一个总所周知的结论是: 拓扑空间 连通, 当且仅当 为其仅有的 clopen subsets. 以下对于任意的紧度量空间 证明题中结论.

容易看出, 两点间存在一个 的点列成为一个等价关系 . 于是我们可以将 划分为 . 只需证明 为 clopen 的.

Openness: 若 , 根据条件选取一个点列 , 则 为 的 neighborhood.

Closedness: 若 , 则选取一个 , 使得 , 选取合适的点列并将 添加到点列的一端即可. 于是 .

假设 并非 connected, 则 , 其中 为 disjoint nonempty clopen. 由于 compact, 均 compact, 于是 亦 compact, 而 取得最小值 (Weierstrass).
由于 disjoint, . 易见 并非 : 对于任意 , 不可能找到符合要求的点列满足 .

在第二个 implication 中不能去除 compactness 的假设: 有易见的反例 .

谢邀。被关注的人邀请有些受宠若惊啊。

证明：

ε连通 -> 连通:

假设E是不连通的集合。因为E是紧集，所以存在非空且紧致的子集 满足 . 故存在 使得，对于所有 来说，满足 . 因此，对于 ，存在 使得 . 故集合E不是ε连通的。(Contrapositive)

连通 -> ε连通：

选取 和 . 考虑所有在E中能和a构成ε链的集合：

.

接下来考虑B的几个性质：

1. B是非空的：考虑 （这一步需要抛弃 这个条件）
2. B是开集：对任意 ，考虑球 。我们要证明 。
   由B的定义选取数列 。选取 。由此，定义新数列 。因此 ；
3. B是闭集：考虑 ，目标是证明 。
   由定义，存在 和 使得 。因为 ，选取数列 . 注意到若使 ，则 .

由于E是连通的，故唯一一个又开又闭非空子集就是E自己。所以 . 由此命题得证。

另外，可以使E为任意以d(x,y)为度量的度量空间，命题依然成立——把 换成d(x,y)就行。

编辑：删掉了之前关于条件a≠b的讨论。感谢评论区指正！

如果 不连通, 可以将 写成 ( 表示不交并), 满足 . 因为 是 中的紧集, 这等价于 , 因此 , 从而 也是紧集.

对每个 , 定义 . 因为 且 , . 令 为中心为 半径为 的开球, 则 . 所有 构成 的开覆盖, 任取一个有限子覆盖 , 令 , 则任取 都有 , 任取 , 则 间不存在 -连通点列, 这表示 不是 -连通的.

反之, 假设 不是 -连通的, 那么存在 以及 , 间不存在 -连通点列. 对于 , 定义关系 : 与 间存在 -连通点列, 显然 是等价关系. 定义 .

则 将 分成等价类 . 对于任何 , 必有 , 否则存在 , 即 , 从而 . 令 . 因为 , 所以 , . 这样的 一定都是闭集 , 从而 , 不是连通的.