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下面这个极限的值是多少?如何计算? 第1页

  

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(全文默认所有变量大于等于0,请自行脑补 为 )

有以下几个简单事实:

令 ,我们有

所以

由于

我们有


细心的朋友可能已经发现,这个做法有一点小瑕疵,我们在求 的全微分时, 的余项在固定 ,且 趋于 时才是 的高阶无穷小, 趋于0 时不能直接忽略。

其实意思都很清楚了,为了表述严谨我们就换一种委婉的写法。

对于 , 在 的某邻域 可微,故 , , s.t.

由于

所以


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这个有一定难度,关键是要想办法将分子的两项指数化后Taylor展开,这是指数展开的结果:

由此,将有


完整的解法参见


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碰巧之前写过


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