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这个的必要性怎么证明? 第1页

  

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回忆无穷乘积与无穷级数的关系[1]

由于 是恒小于0的,所以立即有:

由 收敛得 收敛,即 收敛且极限不为 [2],即 收敛

参考

  1. ^ 这个定理的证明用到比值判别法和ln(1+x)~x。关于无穷乘积的相关知识,参见复旦欧阳光中《数学分析》第三册无穷乘积一节。
  2. ^ 注意,无穷乘积收敛是指乘积的序列极限收敛且不收敛于0

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为证必要性,给定级数 收敛,于是依 收敛准则,对任意的 存在 使得,当 时有 对所有 成立。但这时,显然还应有 于是 也就是 固定 以后,这式子对一切 成立,显然表明了 有界,再依单调有界原理,收敛。




  

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