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小平邦彦《微积分解析入门》第五页怎么等于1? 第1页

  

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我们来搞一堆定义。

首先,一个有理数Cauchy列 是指一列有理数,使得对任意 存在 使得 。两个有理数Cauchy列 等价是指对任意 存在 使得 。

容易证明有理数Cauchy列的等价关系满足反身性,对称性,传递性。这样可以把所有的有理数Cauchy列中互相等价的数列归为一类。这些“类”的集合 称为实数集合,每一个类都叫做实数。类(实数)中的任意一个数列称为这个实数的代表元。这就是实数的定义。

下面我们来看看原来的问题。

按照惯例,应该定义为一个实数,它的一个代表元是 。而实数 的代表元是 。所以要证明 只需要证明 等价。

我们发现 。所以对任意 ,取使得 的最小正整数 ,则 时 。所以这两个数列等价,证毕。

貌似没有比这更严谨的证明了(




  

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