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对于所有的无穷小,能否把它们趋于0的速度定义为一个数,使得趋于0速度较小的一定是较低阶的无穷小? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

只能尝试去探讨,这相当于给全体无穷小赋予一个全序的判别(简单的)指标。

定义无穷小和定义无穷大是一回事,只要取倒数就可以相互转化,所以下面我们只讨论无穷大的比较。

定义指标

幂函数指数是一个天然的指标。借用这个思路,我们定义:设无穷大

若以下极限存在

于是定义其为无穷大指标,无穷小指标记为

显然,对于 ,代入上式,我们得到 ,这是我们想要的。再举一个例子, ,

指数增长的指标

那么,指数类型的函数呢?

这个指标失效。我们加强一下这个指标:

那么,将 代入

同理,可以定义 ,不再赘述了。

性质 对低阶无穷大算高阶的指标为 .

:假设 存在,则

利用等价无穷小替换或者两边夹原则可得.


对数增长的指标

若存在有限极限,则定义

我们前面的例子看到, ,不过

同理,

若存在常数 使得上面存在有限极限,则


考虑函数

因为

所以


汇总

于是,无穷大可以对应一个序列(如果存在的话),

然后按照字典排序法,比较其大小:指标越大优先级越高。

容易计算

所以指标 , 表示


写得不严谨,但是基本思路还是很平凡的……当然,这个指标也不是万能的,一切的定义都是基于极限存在。




  

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