如何严谨地证明 0.9999…=1？ 第1页

笨方法 搜索一下："戴德金分割"

天才法 2=3的证明方法：

∞*2=∞

∞*3=∞

поэтому 2=3.

严谨～

整数的概念是以直观为基础，且始终无法超越直观领域。

小数的概念是以分析为基础，而又始终无法走进直观领域。

也就是说，在实际应用中，0.9999.... 与1是不会同处一个逻辑语境的。

他们之所以被放在一起讨论，不过是数学语言在中间玩了个障眼法。

他们相等也好，不相等也罢，与实际应用都毫无意义。

对他们进行的任何讨论与证明，都不过是数学语言的自嗨。

数学家们该警惕自己手中的工具了。

谢邀。

先严谨地定义0.99..，然后这个等式就是一个平凡的结果。

在我们看来，这种问题跟“0是不是自然数”是一个性质的问题。“0是不是自然数”是个数学问题么？当然不是，这纯粹是个记号问题，是个关于定义的语言问题。你想让他是就是，想让他不是就不是；但是你如果想让所有人都赞同你对这个问题的答案，唯一的方法是弄死所有和你观点相左的人。

至于0.99..和1，它们确实不一定非得相等。如果你接受非标准分析，接受超实数，接受存在＞0的无穷小作为一个固定的实体，那么你确实可以把0.99..定义成1减掉某个无穷小。但是如果你使用的是标准实数系，把0.99..定义成0.9+0.09+..这个级数的和，或者0.9，0.99，..这个实数列的上确界。那0.99..=1就是很平凡的事情，基本是同义反复的废话。

所以在讨论一个数学命题之前，先确保你真的理解这个命题在说什么，确保你真的明白这个命题里出现的每一个词，每一个符号的意思。

我来搞事情，证明一下在超实数域里 。下面会讲得比较通俗，所以未必严谨。而且我对这个领域也所知不多，若有错误请指正。

(经典理论里它们是相等的，不要拿这个去怼人哦

经典理论里它们是相等的，不要拿这个去怼人哦

经典理论里它们是相等的，不要拿这个去怼人哦

重要的话说三遍)

所谓超实数可以定义为一个无穷的实数序列，即 。

超实数的运算定义也很普通，四则运算的定义就是 ，其中 是四则运算。

对于实数域上的函数 ,规定 。

对于通常意义的实数 ，规定 。

在超实数里是什么呢？事实上它被定义为 (第 项为 个 )。

设 。这在我们通常的认知里就是所谓的“无穷大”，不过这里先不管它。由运算的定义容易知道

。所以我们做完了？！

其实还可以说 ，但是这样问题就大了，涉及到怎样定义超实数的序关系的问题。如果存在一个集合 (事实上是集族，术语是“滤”)使得可以用它来表示序关系就好了。怎么用呢？考虑两个超实数 其对应项总有序关系。把小于，等于，大于的下标集统计出来后，哪一个属于 ，就把哪一个集对应于两个超实数的大小关系。这样的标志集合已经被证明是存在的，并且这样定义的序关系可以满足实数集中的良好性质。在这个意义下可以定义出无穷小和无穷大。(绝对值比任何实数小/大的超实数)事实上， 与 差一个正的无穷小。由超实数的理论还可以发现，无穷小是一堆数而不是一个数，无穷大也如此。

再多的细节就不多说了，本来也懂得少(逃

一句总结，0.9999...是lim0.999...的简写。是定义。而且是极限还没诞生时，实际为极限理论做的定义。

不存在真的无限位的0.999...不存在！

0.9999...任意位永远小于1。永远！

0.999...无限位不是一个数，是一个lim运算的简写。其计算值=1

各位用极限证明了半天，都没发现自己是证明lim0.9999..=1么。

其实给不懂的人解释应该在前者，也就是0.9999...=lim0.9999....。大家卡壳的是这个地方啦。

而不是拼命证明后者lim0.999..=1。后者但凡有点直觉的人都能看出来。且证法简单，几乎就是大学层面的1+1=2。也并不反直觉，就算没有极限知识也能懂。

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1/3的证明有问题。

首先1/3=0.3333...，你怎么知道左右相等的，小学老师告诉你的，那小学老师也告诉你0.999..=1了。你咋认为一个是另一个的前提了呢。因为本质上0.333..也不等于1/3啊。你想想呢。

已知

0.3<1/3,

0.33<1/3

0.333..(任意位)<1/3

如何得到0.333...(无穷位)=1/3的。

因为根本就不是0.333..(无穷位)=1/3

而是我们定义0.3(无穷位)这个写法意味着0.333...(n趋向于无穷时)的极限值，

且该极限值永远达不到。

这就是定义。。。应该根据定义证明啊。。

根据我们对小数的基本定义出发。

0.99999...

=9/10+9/100+9/1000....

=9*(1/10+1/100+...)后部分为等比数列

等比数列求和公式为1-q^n/(1-q)*a

=9*(1-0.1^n)/(1-0.1)*0.1

n趋向于正无穷时，该数字趋向于9*1/0.9*0.1=1

就是说当位数趋近于无穷时，该数字无限趋近于1。

但是，极限算法不会考虑n=∞的情况，只会考虑n无限趋近无穷的情况。

所以这种无法整除的数用，无限小数的计数法，定义就是n趋向正无穷时的极限值。

也就是说当我使用0.9999...这个书写方式时。0.999...不再代表他十进制的表面值。而是代表他未来无限趋近的一个值。

也就是说，普通人认为的0.9999...应该永远小于1这是对的。

只是因为我们定义无限循环小数就不是其十进制的值，而是其无限趋近的值。0.9999...最靠近的无疑是1。所以他等于1。

简单的说就是无限循环小数就是明明不能用小数写。偏偏要用小数写所以产生的无限接近完美，但是永远不可能完美的值。不止0.9999...不等于1。0.1111...也不等于1/9。硬要说的话他们是不断趋近去这个值。

总结一下，世界上根本不存在0.999...(无限循环)这个数。不存在任何无限循环这种玩意。

正因为不存在，所以我们可以拿来干别的。

1/3用小数写，永远写不完。咋办。

那我就定义下。既然0.333的无穷极限值就是1/3。那我就给个简称，0.333趋近无穷位的极限值=0.333无穷。好了，完美。说话简单多了。然后坑惨了一堆认为他俩真的相等的人。

其实1/3是一个值，精确存在的。0.3333...根本就是一个极限表达式的简化版。根本就不是一个数，而是一个极限式子的计算结果。

不断趋近的那个完美就是我想要说的那个数。因为我用小数的语言说不出那个数。我就给你意会一下的意思。

反正，以我浅薄的大学数学知识。数学不存在无穷的。只有趋近无穷的各种算法而已。

0.999..的极限趋近和1的图片。0.9999..永远小于1。但是趋近值，也就是极限值就是1.

-----------你说你还用ε证啥，人家本来无限循环定义就是极限值。只不过那会大家极限还没作为研究对象，所以表达不出来这个意思。其实人家就是按这个意思定义啊。证啥。。。。

反对“极限是循环论证”和“极限是复杂论证”：

——极限不是循环论证，极限是现代数学里最基础的概念，不是现有中小学的数学理论推导得来的结论。

——极限是实数理论中“最严谨”的简单论证。因为需要严谨，所以从实数完备性出发，可能存在非极限方法的论证方法，但会更复杂；也有可能存在不复杂的表述，但其中蕴含于极限概念的等价。

这个等式在数学上意义的确不太大。因为实数理论里最重要的有理数和无理数，在区分有理数和无理数，分数足够了，而分数的定义是从整数相除出发的，无需考虑有限循环和无限循环小数；

小数的存在只要是因为现实好用。

但小数的逻辑恰好又与实数理论可以不存在矛盾，并且小数的表示不唯一【即所需证明】。

“可以”指“如果衍生定义出现问题，那就会变成矛盾”。

但如果想把小数理解开，硬要论证这种等式。也是可以的。只能从实数完备性出发，而实数完备性，虽然极限不是唯一表示法，但极限是最简单且最有利于分析后续发展的。

我不是研究分析的，我只是一个学过数学分析及部分后续课程的知乎用户，不足以为学术。

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我试图给个简单的表述：

【命题】如果两个实数不等，那么就存在一个可以准确写完的数比其中一个大，同时比另一个小。

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上面这个非常不严格的命题论述，基本可以是常识，零基础可理解。

但如果没有实数完备性理论或者没有极限，只能是个猜想。

“或者可以提一套与实数完备性理论无关的理论”，且只能从严谨性上比实数完备性更复杂；

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如果不理解实数完备性的，真没有必要强证的。

极限是实数完备性不能缺少的基本概念。

感觉是极限概念是后置的，其实的确是因为实数完备性没个像初中几何里“对顶角相等”的常识就能理解的公理。

实数完备性也有“公理”，一般认为有7个等价的定理：

1. 确界原理
2. 单调有界定理
3. 闭区间套定理（柯西-康托尔定理）
4. 有限覆盖定理
5. 聚点定理
6. 致密性定理
7. 柯西收敛准则

理论上任意拿两个互相证明都是可以的，一共42个。本科阶段应该没有哪个数学系要求学生都去证明一遍。课程要求我估计最多也就5个。一方面可能存在一些类似的构造，关键是有一些证明是实在太繁琐了。

而相对简单的证明就是从极限出发的。这也为什么极限有如此高的地位。

这里相对简单的证明其实没有高数背景也是没有办法进行的。所以懂“实数”不懂“实数完备性”的如果去较真这个证明，会出现概念都懂但没有工具的情形。

另外极限论证不是循环论证。 以华师大数学分析为例，实数的完备性是第七章介绍的，前六章已经介绍了实数、数列极限、函数极限、函数连续性、导数和微分、中值定理。

还有，目前的论证，即使没有使用较为复杂的高等数学（数学分析）中的基础，也是因为某些结论是由极限较为简单的出发得到了一些感知上是常识的结论。但如果不引入极限，要么表述及论证会更为复杂，要么论证过程会不足以支撑整个实数理论。

另外，如果有不用极限，又能严谨的证明且比极限论证方式上“简单”，那么这会是分析领域极为重要的发现。

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给一个证法：

1.给出严格不等于的定义：我大概也就只能表述就是严格不等于。

2.从有理数的稠密性可得：任意存在严格不等于的两个实数a、b；不妨设a严格小于b，那么存在一个有理数x严格大于a，且严格小于b。【有理数应该可以缩小为有限小数】

换成零基础可懂的解释：
如果两个数不等，那么就存在一个可以准确写出来的数，比其中一个大，同时比另一个小。

这个结论应该在实数完备性里有表述，且我认为是直观结论。可作为“公理的某个推论”。

比如0.342978789和0.3453287，存在x=0.3444444严格大于前者且严格小于后者，满足。

而不存在这么个数比0.99999999999...严格大同时比1严格小，则0.99999999999....=1。

严格讲，比较的是两个实数，但居中的数需要是有理数（可缩小为有限位有理数）。

那么，为啥有人还认为极限的证明是循环论证？但自己再用柯西收敛准则避开极限？

黑匣子是个筐，啥都往里面装。

极限或极限的等价形式放在黑匣子里没看见么？

//折叠我主观上的“民科”（般）回复。

从《十万个为什么》里面看到的证明方法，

在小学五年级之前，我就靠这个装逼的。

找来三四个小伙伴，问： 0.9999... = 1，对不对？

所有人摇头说不对，看我的表情，就像看到了白痴一样。不对，就像看到了民科一样。

然后我写道：

0.3333 = 1/3对不对？

对！

两边各乘三， 不就是0.9999 = 1了？

？？？ 对啊！！！

就这样，我给他们上了一课。

在小学五年级以来，这仅仅使用了“左右两边乘以一个数，等式不变”的道理，

非常严谨，无可辩驳。

现在大学都毕业好多年了，

回头再看看这个证明结果……

依，然，觉，得，很，严，谨！

不仅严谨，而且简明。

评论区中， @Water 同学也给出了一种很不错的民科证法：

1. 设t=0.99999....
2. 10t=9.999999
3. 10t-t=9t=9.99999....-0.999999...=9,
4. 9t=9，则t=1。即0.9999 = 1

首先0-1这个闭区间是完备的，其次，0.999...小于或者等于1。第三，很容易证明不存在一个数介于0.999...和1之间，那么小于等于就是等于了。同时，0.999...也大于除了1以外的区间内任意数。 所以两个数相等。

严格的证明就是严格地定义实数，然后把实数和小数表示法的关系捋清，这样就会发现0.9999...和1.000...都是某个严格存在的实体1的两种不同写法，仅此而已，实际上所有非0有限小数都有两种写法。

用极限证明是循环论证，因为实数都没定义清楚，怎么定义极限？

补充一下具体证明吧，被某人挂了，心情不好，做点贡献。

设 为有理数列，满足柯西收敛准则，即 使得 都有 。但是在有理数域中，不一定有极限，比如

作为有理数列就没有有理数极限。

为了定义实数，规定等价关系

那么这样的一个等价类就是一个实数，而原来有有理数极限的柯西列也是实数，显然收敛于同一个有理数的柯西列是等价的，他们构成的等价类就是有理数在实数域中的嵌入。

所以实数1表示所有收敛于1的有理数柯西列的等价类。

那么无限小数是什么呢，这表示一个柯西列：

整数部分，保留1位小数，保留2位小数，....

所以0.9999...的意思就是数列

0,0.9,0.99,0.999,..., ,...

显然 ，因为对于任意 ，取 即可。

我觉得，在证明之前，我们先要接受三个概念。如果能接受这三个概念，其实证明本身不难，如果觉得接受不了，那么证明也没有必要，因为当你认为这些概念不一定正确时，0.9 9循环本身确实可以不等于1。

第一个概念，实数是质密的，换句话说，任意两个不相等的实数之间，必然可以再找到一个实数。

如果要举例的话，有理数就也是质密的，假设你有两个有理数，a和b,且a不等于b，姑且说a小于b吧，那么a+b/2 就不等于a也不等于b,但是在a和b之间。

不质密的例子也有，整数就是不质密的，1和2之间无法再找到一个整数了。

有理数是质密的，那么范围更大的实数，自然也应该是质密的。细想一下，任意两个不相等的实数a和b，这两者之间必然存在一个既不等于a，也不等于b的实数本身是很合理的。

第二个概念，实数是连续的。换句话说，两个实数之间，只会有实数存在，不会存在其他东西。

其他连续的例子不好举，但是我可以举一个不连续的例子，那就是有理数。依旧用上面的例子，

a<b，那么，只要找一个足够大的分母n, (b+a)/2 +（根号2）/n 也会在a和b之间，但是这是一个无理数。两个有理数之间会有无理数，那么有理数自然不是连续的。

而回到实数，实数集合可以理解为一个包含所有的数，但是不包含任何数以外东西的集合。

所以两个数之间只能有数，只要是数，就在实数集合里。你总不能说实数集合里还有不是数的东西吧？所以实数是连续的。

第三个概念，小数（包括循环小数在内）这只是一个对数字的表达方式，而这个表达方式是有缺陷的。比如说，你是无法用小数完整的写出一个无理数的，你可以写出一个很接近无理数的小数，但是你永远也无法用小数写出一个无理数。

既然如此，为什么小数这种表达方式就不能有其他缺陷呢？比如，同一个数会在小数表达方式中有多个表达方式。

如果你能接受上面三个概念，那么证明只要用第一个概念就可以实现了。用反证法。

假设0.9 9循环不等于1，

那么，根据小数计数法，0.9 9循环小于1.

那么，就存在一个数，在0.9 9循环和1之间，且不等于0.9 9循环，也不等于1。

而按照我上面所说的构造方法 (0.9 9循环+1)/2 就是这样的数。

但是0.9 9循环+1是1.9 9循环。

1.9 9循环除以2， 会是0.9 9循环， 等于0.9 9循环

(a+b)/2 =a 了

和实数的质密性抵触。

那么就是我的假设不正确。

所以，0.9 9循环等于1