如何看待几何数论（geometry of numbers）这一数论分支？ 第1页

众所周知，无理数可以用有理数无限逼近，但是当有理数的分母有限的时候，对无理数的逼近程度也是有限的。这个逼近的程度，就可以用来衡量无理数“无理的程度”。这就是丢番图逼近理论研究的主要内容。

对于实数 ，定义其无理测度(irrationality measure)

有理数的无理测度为1，无理数的无理测度至少为2. 几乎所有(在勒贝格测度的意义下)实数的无理测度都是2，但计算一个具体的无理数的无理测度往往是极其困难的。

上世纪七十年代，Roth证明了以下绝非平凡的Roth定理：无理代数数的无理测度为2.

对于超越数来说，大多数结果是未知的。例如，对于圆周率，我们的最好结果是已经知道

不难证明，任何 都是某个无理数的无理测度。刘维尔数是指无理测度为无穷大的数，这类数也是最早被证明为超越数的数。

研究无理数 的无理测度的基本方法，大致上可以分为“做算术”和“做分析”两个步骤。

“做算术”是指通过某种特殊形式的级数或积分，经常是有理函数或含有有理函数因子的函数的级数或积分，得到形如 的数列，其中 都是有理数，并且通过这级数或积分的性质得知 的公分母不超过某个数列 ；

“做分析”是指通过研究上述级数或积分的分析性质，给出以下形式的不等式（设 ）：

进而得到

只要能够估计出 而且 就有

同样的方法还可以用在证明某个数是无理数上。只要我们能够证明 且 那么当 为有理数时，就有 且极限为0, 但对于整数列 ，这是不可能的，所以 是无理数。

以上是我了解的一些内容，仅仅是几何数论的冰山一角，感谢阅读。