有限群的群行列式因式分解后，各因式的次数是否与重数相等？ 第1页

对一般的有限群，这个性质也是对的。这个定理叫 Frobenius Determinant Theorem. （感谢 @Chen Ivy 科普）

简单解释一下：令 是一个有限群。假如 有一个复表示 ，且 是一堆不可约表示 的直和。那么根据线性代数知识， , 这个线性映射就可以限制到各个不可约子表示上得到 ，且 。左右两边是对任意 都成立的等式，从而我们可以把 换成变量 仍然使得等式成立。可以证明，在 是不可约表示的时候， 也是一个不可约多项式。

下面考虑 是群代数（也就是 是 regular rep） 的情况，根据表示论知识，我们知道 会分解成不可约表示 的直和 ，其中 是共轭类个数， 。所以代入上面的行列式公式，我们就有 。（我们甚至有 其中 是群的阶数。）

最后，注意到“元素” 在基 下的矩阵的行列式就是群乘法表替换为对应变量后的矩阵的行列式 (up to a sign)，从而证明结束。

假如想知道不依赖表示论的证明，可以参考 [2].

Reference：

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_determinant_theorem

[2] Dickson, Leonard Eugene. "An Elementary Exposition of Frobenius's Theory of Group-Characters and Group-Determinants."Annals of Mathematics, Second Series, 4, no. 1 (1902): 25-49.

[3] Conrad, K. (1998). On the origin of representation theory. Enseignement Mathematique, 44(1998), 1–23.