X²+Y²+Z²=114514存在多少组整数解？ 第1页
1
wen-da-xue-shi-56 网友的相关建议:
设 为正整数，我们记方程
的整数解的个数为 , 这里我们考虑符号和排列. 例如方程
的整数解的个数为 ：
利用 模形式 的理论可以得到 的表达式！
定理 1：设 为正整数，则有唯一的分解 , 其中 , , 为整数，且满足 , 为奇数 , 为 基本判别式.
定理 2：我们设 为基本判别式， 则 为模 的 Dirichlet 特征. 其中 为 Kronecker 符号.
定理 3：设 为正整数，则
其中 为 Dirichlet L-函数， 为 Mobius 函数 , 为 的正因子之和.
定理 4：设 为模 的 Dirichlet 特征，则
现在我们来求 . 由于
则由 定理 1 知
由此我们可以得到
故有 . 由 定理 2 知 为模 的 Dirichlet 特征，再由 定理 4 并且借助 SageMath 计算可知
从而我们有
即方程
有 组整数解，这相当于说球面
上有 个 整点.
1
相关话题
这个公式如何证明？一个空间中勾股定理不存在，而变成了 c^4=a^4+b^4，甚至有更高的指数，那么这是一种什么空间？
这道题做错在了哪里呢？
复变函数为什么sinz/z是可去奇点而不是一阶极点？
数学史上有哪些比较著名的猜想因为有反例的存在而没有成为定理？
Lagrange 如何用连分数理论推导出一次同余方程的通解？
如果某天偶数消失，世界会变成什么样？
topology 为什么被译为「拓扑」？
如何看待美国学者称经济学用了错误版本的微积分？
Shamir秘密共享门限方案当模数为多项式大时，为什么不安全？
前一个讨论
一个具有介值性的函数是否一定存在原函数？
下一个讨论
如何理解矩阵的复数特征值和特征向量？
相关的话题
一个数学学霸是怎样练成的?你相信质数会有递推表达式，或者有简单的几何形态吗？
这个极限可以求得吗?
想买报纸，走了很久没有找到报亭，该换一条路还是走到底？
有限个人，任意两个人有且只有1个公共朋友，那么一定存在1个人是所有人的朋友，这是什么数学问题?
两幂级数柯西乘积收敛半径大于等于较小者 怎么证明呢？
国内有哪些基础数学好的大学？
如何证明如下积分等式？
张益唐和佩雷尔曼的论文是否说明脱离主流学术圈一样有可能成为顶级数学家？
有什么数学名词可以作为人名吗？
如何向六年级的孩子解释-1×(-1)＝1？
如何看待几何数论（geometry of numbers）这一数论分支？
James Simons 退出数学学术界转从对冲基金是否为数学界的损失？
有没有数学无法覆盖的领域？
是否存在仅由1和2组成的长度为2^n的序列，可以做到在这个序列中取出所有含1和2的长度为n的序列？
柯西中值定理是怎样发现的？
椭圆曲线群结构结合律证明有没有不爆算的巧妙证明？
为什么入门的微积分教材都是从极限的概念开始讲起？
广义反函数的定义及该定义的相关说明(问题描述)？
1000桶水，其中一桶有毒，猪喝毒水后会在15分钟内死去，想用一个小时找到这桶毒水，至少需要几头猪？
请问这道积分题如何证明？
现在流传的数学高考卷是假的吧？
阿基里斯和乌龟的悖论真的不能用常规逻辑推翻吗？
如果高中生跑步速度超过光速，会被北京体育大学保送吗？
假如我在高考数学试卷上解决了哥德巴赫猜想会发生什么？
扔硬币，扔了三次反面，再次反面的概率真的是1/2吗？
如何证明这道不等式？
高中数学最低考过多少分？
叶戈罗夫定理的逆定理该怎么证明？
现在的纯数学家们对于自然科学的关注大概是怎样的程度？