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求使 y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b) 成立的正整数对 (x,y) 的数量这一类的题如何解？第1页

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正文

综合分析法：

要想是正整数，那么只能与同时为完全平方数，选取的种类完全决定了正整数对的数量，反过来也是如此。

设，，

也就是说， 的种类数目等于 拆为两约数之积的分解数目。记为

我们规定，也就是说出现交换的情况只算一次。

而一个正整数的分解是有限的，于是通过列出不同的约数组合，得到线性方程组：

解得

这就需要与奇偶性相同，于是对于一奇一偶的因数拆分，我们可以直接排除这种情况。

而对于一般情况，设的质因数分解式为

，

时，也就是说为奇数，将其随意折分为两个因数之积皆满足题意，那么符合题意的分解数为，这是因为反比例函数关于直线对称，与只算一次；
时，无解；
为奇数时，我们分两步完成，第一步先对进行分配，分配数为（道理同上分析）；第二步，再对奇因子进行分配，分配数为，由分步计数原理，符合题意的折分数为，我们发现这个公式是包含第二种情况的；
为偶数时，考虑到与的对称性，与互换导致重复计数一次，所以这种情况需要单独拿出来考虑。所以符合题意的分解数为

综上，

其中，

例 1

解：由上面的定义，，其中，算得共有整数解：

事实上，当

也即是当

例 2

解：，，其中，算得共有整数解：

之所以举这个例子，是想体现为（偶数情况）时，上面公式的前一项为

事实上可取值

取值范围

对于的取值范围，我给出一个很粗略的界，方便程序跑循环

我将和全都放大为；至于下界，

综上，

       #约数列表 dlist<-function(n) {     ans=c()     for(j in 1:n)     {         if((n%%j)==0){ans=c(ans,j)}     }     ans }  #求因子p的指数 index<-function(n,p) {     r=n;m=log(n,p)     if(m%%1==0)return(m)     for(j in 0:m)     {         if(r%%p!=0)return(j)         r=r/p     }     return(j) }  #非负取整函数 pf<-function(x) {     if(x>0){y=floor(x)}else{y=0}     y }  #方程y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b)整数解个数（理论计算） Key<-function(a,b) {     K=abs(a-b)      alpha=index(K,2)      L=K/2^alpha     dL=length(dlist(L))      if(alpha%%2==0)     {         ans=pf(alpha/2-1)*dL+floor(dL/2)     }else{         ans=floor(alpha/2)*floor(dL)          }     ans }  fx<-function(a,b,x) {     y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b)     y }  #方程y=sqrt(x+a)+sqrt(x+b)整数解个数（数值验证） key<-function(a,b) {     K=abs(a-b);m=min(a,b)     for(j in -m:(K^2-m))     {         if(fx(a,b,j)%%1==0)print(j)     } }

利用程序可以进行数值验证。