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怎样利用格理论,也就是 minkowski 基本定理来证明拉格朗日四平方和定理以及费马平方和定理? 第1页

  

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哪个 Minkowski 定理?

这个定理在不同学科里有不同的表示方式,比如格子理论和泛函分析里都有该定理。

Lattice 理论表示:

设 是一个 维格, 是一个对称凸面集合,其体积满足:

那么 中包含一个非零的格向量。

很多书上给出的证明都是通过压缩映射原理的平移搬迁给出的,但是不太具有代表性。我是这么考虑的,考虑 整数格,那么原点附近的什么样的中心对称图形才能一定包含格中非零点呢?很显然,如果是边长为 的正方形,面积为基本平行体的体积之四倍,它肯定是满足的,而这这个图形绕中心旋转也仍然能覆盖一个非零格子点。

如果你要把这个正方形揪成长条,那么不可避免地会接触到离原点更远的格子点,总得来说就是无处可逃,满地都是钉子,当你的脚足够大时,怎么踩都会被扎到。(好恐怖)




  

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