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为什么 1 不能被认为是质数? 第1页

  

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upd 2.7.2019:增加了 ,现在可以不用瞎眼了(

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谢邀。1原本是作为质数的,因为它本身满足质数的定义(1只可以被1和它本身整除)。1之所以被排除质数的范围,是因为我们有如下定理:

(唯一分解定理)对于任意整数 ,有且仅有一组质数对 和正整数对 ,使得

.

什么意思呢?它表示这样一个结论:对于任意的一个整数,你都能把它因数分解,而且结果是唯一的。

举个例子:1001只能被分解成7×11×13,而且你再也找不到除(7,11,13)外的一组质数,使它们的乘积是1001。

那么这个定理有什么用呢?数论上,它可以用作对数的整除性分析,可以用作抽屉原理中对抽屉的构造,可以用作平方数的检验,可以用作二次不定方程的整数解的计算,还可以用作质因数和、因数和等的计算,进而对涉及因数的难题/方程作解集范围的估计,为枚举创下条件……;代数上,可以对开方,对数,求幂等运算进行化简,对高次方程的解进行估计……等等。它在数学(不仅是数论)中重要性不言而喻。

但这一切的一切都有一个重要前提:1不能作质数!

为什么呢?因为如果1是质数,那么就用上面的例子,我们显然可以发现:

1001=7×11×13

1001=7×11×13×1

1001=7×11×13×1²

1001=7×11×13×1³

……

这样的式子可以写无穷多条!也就使得上面的唯一分解定理中的“唯一分解”被否证了。

可是这玩意太有用了,数学家当然不希望这样。于是为了这个定理,尽管“把1作为质数”的结论很漂亮,也只能无奈地把它抛弃。

(upd:用描述“除1以外的质数”当然也可以,但数学家们懒啊←_←)

于是,1不能是质数。


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