这个问题很有意思。
人们总把各学科中艰难晦涩的部分理解为天才之间的密语,但事实上,它更像是山顶上的宝石,只要前行的方向正确、路途中心态良好、攀登方法得当,它有可能被任何人摘取,换言之,任何人都可能成为后世眼中的天才,ta的名字和工作会被记录在数学史上。但是问题在于,有多少人愿意选择把自己的时间精力花费在数学研究中而不是其他,有多少人能够按照数学学科的逻辑做研究,有多少人能够坚持跑这场一个人的马拉松,又有多少人能够承受失败后的所有后果。
世俗意义上的成就在99%的情况下比人类文明的进步更加吸引人,任何人都不能免俗。
哥猜之所以这么引人注目,不仅仅因为它是哥德巴赫提出的,更在于它对数学的进步有重要的意义,它可能是打开新世界大门的敲门砖,并且,几百年来一波又一波的学神都铩羽而归,这非常容易激起人的征服欲。
并不是随口提出的猜想都可以自称为“xx猜想”,遥想当年,费马提出了一大堆猜想,其中都大多数被欧拉解决了,剩余一些陆陆续续被后人解决或存疑,但唯有“费马大猜想”成为了著名的历史遗留问题,并且被冠以“大”,足以见其分量之重。事实上,在柯西的时代(欧拉的学生是拉格朗日,拉格朗日的学生是柯西)就有沽名钓誉之徒搞出一些冠冕堂皇的“猜想”,社会上炒得火热,但真正的数学家都不屑一顾(如柯西曾公开批评过它们)。但是,正因为费马大猜想的分量重,怀尔斯及这350年间的一系列作出贡献的数学家的名字才值得被铭记。所谓“夫宜以近则游者众,险以远则至者少”便是这个道理。
哥德巴赫猜想本来就是由“普通人”(相对于欧拉这样的数学大神)提出的,哥德巴赫有没有问过其他人?肯定问过!正是因为没有搞出什么名堂,所以他才把问题寄给了欧拉。但是欧拉也无可奈何,于是这一猜想瞬间“身价不菲”。一个欧拉都无可奈何的猜想意味着什么呢?他可是数学之神啊!这说明普通人能想到的方法,他都想过了,人类想不到的骚操作,他也想过了(不了解欧拉的童鞋可以看看《无穷分析引论》,简直就是一本骚操作合集)……如果证明了哥猜,那就意味着比欧拉还牛,试问行内行外,有几个人能脸不红心不跳说自己堪比欧拉?
我再介绍一个也是“平民出身”的世界级猜想,和题主的假定的情景比较相似。
“四色猜想”一开始也是来自于“民间”——来自于一位制图人员的疑问,随后逐渐进入了数学圈子。当闵可夫斯基在课堂上被学生问到这个问题时,他一脸自信地说,这个问题之所以没有被解决,是因为一直以来只受到了二、三流数学家的关注……我决定只用一节课的时间证明它。结果,他在黑板上挂了一节课,尴尬地下不来台,课终,忽听一声惊雷,闵可夫斯基说,这是上天对我的自大的嘲笑。直到上世纪人们用计算机才勉强得出一个证明,论文之厚,判断之繁,实非人力可为。
并不是没有给过普通人机会,但正是因为他们解决不了,所以才最终交给了数学家。试想,如果猜想传播的中途被一个中学生证明了,那么这个问题也很有可能不会青史留名,多数人只会判定这只是一道中学难度的问题。反过来说,一道世界难题,怎么会轻易被人证明呢?哥猜不要面子哒?
再者,数学家可不都是吃干饭的,别太小瞧人。
数学是一门专业化很高的领域,数学工作者是一门职业。证明一道世界难题好比是制造航天飞船,甚至尤有过之,世人只看得到可见的难度(航天飞船),却看不到隐藏的难度(哥德巴赫猜想)。现在有人问,一个中学生可以制造航天飞船吗?我想多数人会说,不太可能,这个概率很低。但是人们却对哥猜怀有十分乐观的看法,这是很可笑的。我笑的不是中学生,我笑的是人们对哥猜的盲目乐观。
那么,哥猜究竟有多难?
这是我之前的回答,这个问题下还有许多优秀的回答,推荐大家看看。
在研究哥德巴赫猜想的过程中,海南农民梁定祥提出了梁定祥猜想,香港商人余新河提出了余新河数学题,后者曾悬赏100万港元求解,一时间,引发中国数学界的关注。
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:
这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:
记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:
这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为: