我知道 ∑n，∑n²，∑n³ 的结果，那是否能够求出 ∑n^k（k 为正整数）的一般形式通项公式？ 第1页

说一下 mathematica 的内部算法吧, mathematica 用的是解析延拓, 这个方法很罕见

解析方法和组合方法思路一开始就不一样, 这一思想反其道而行从高阶调和级数出发

我不研究正的, 我先研究负的, 毕竟负的会收敛, 延拓怎么着得从收敛域开始

最后表达式比组合学方法简单:

和求和公式是一样的

推导过程应该说比较欢乐, 见 ^[1]Series Associated with the Zeta and Related Functions (2.3.9)

参考

1. ^ https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Series%20Associated%20with%20the%20Zeta%20and%20Related%20Functions&publication_year=2001&author=H.M.%20Srivastava&author=J.%20Choi

这个问题的结果有所谓的Faulhaber公式

其中， 是第 个Bernoulli 多项式。或者 其中， 是第 个Bernoulli 数。

鉴于题主自称是中学生，这里我给出一种更初等的做法，这个做法基于归纳与迭代的思想。记 至少在小学通过所谓的「聪明的高斯」的故事，我们已经知道 这当然就是归纳奠基的第一步了。现在设若我们已经知道了 需要来求出 那么这只需要注意到以下明显的事实 请注意，这个式子虽然没有显式地给出 的计算公式，但已经足以表明整个计算该如何完成，因为 已知，也就是说我们可以迭代地由 导出 再由 导出 我想，这应该是可以让中学生理解的一个方法。

可以了解一下伯努利数。

我们要处理的是 ，其中 。下面定义一个生成函数：

。这个函数对于所有 都是解析的，所以可以让 等于任何值。伯努利数的定义是：

，这里的 就是第 个伯努利数。通过展开左边那个函数，我们可以证明第奇数个的伯努利数都是零（除了 ）。这个时候我们可以看到伯努利数的定义和那个生成函数已经有点接近了，我们只需要继续把他展开：

跟最开始的生成函数一对比，我们就得到：

。

这就是通项公式，确实不是很简单。

没有特别浅显的通项公式，如果想看看答案长什么样子的话建议自行百度伯努利数(Bernoulli Number)如果想了解一些“为什么”之类的问题可以去读一下Stein分析四部曲的第一本，伯努利分析导论。

这个应该是我读过的所有“比较清楚的交代了伯努利数的来龙去脉的”教材里，预备知识需要的最少的一本，但是也需要数分知识的储备。如果不是基础特别好的中学生，建议把疑问留到读大学以后再去了解探索。