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为什么前N个自然数的最小公倍数约等于e^N? 第1页

  

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为了降低阅读难度,本回答尽可能在不使用解析数论的知识点来推导。

现在设 则有:

再利用 ,得:

现在用π(x)表示不超过x的素数之数量,则π(n)-π(n-1)可以用来判别n是否为素数。于是:

由于最小的素数为2,所以π(1)=0。这意味着蓝色部分可以被舍去。另一方面,利用对数函数的数分性质,我们得知:

再根据 ,我们可以将右侧求和再次转换,得:

其实这个式子可以直接用分部求和法秒解

现在根据素数定理 可知存在常数A使得 恒成立。这意味着:

代入(2)再除以N,得:

现在结合素数定理 ,我们就能通过取极限得到 。将该结果代入回(1),我们就得到结论:

取指数便能得知对于所有的 均存在 使得对于所有的 总有:




  

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