百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



为什么前N个自然数的最小公倍数约等于e^N? 第1页

  

user avatar   travorlzh 网友的相关建议: 
      
为了降低阅读难度,本回答尽可能在不使用解析数论的知识点来推导。

现在设 则有:

再利用 ,得:

现在用π(x)表示不超过x的素数之数量,则π(n)-π(n-1)可以用来判别n是否为素数。于是:

由于最小的素数为2,所以π(1)=0。这意味着蓝色部分可以被舍去。另一方面,利用对数函数的数分性质,我们得知:

再根据 ,我们可以将右侧求和再次转换,得:

其实这个式子可以直接用分部求和法秒解

现在根据素数定理 可知存在常数A使得 恒成立。这意味着:

代入(2)再除以N,得:

现在结合素数定理 ,我们就能通过取极限得到 。将该结果代入回(1),我们就得到结论:

取指数便能得知对于所有的 均存在 使得对于所有的 总有:




  

相关话题

  为什么前N个自然数的最小公倍数约等于e^N? 
  一个正常智商的人终其一生能够理解费马大定理的证明吗? 
  无理数是否真的存在? 
  比三大,比四小的整数是存在的吗? 
  存不存在连续的三个奇数都是素数(3,5,7 除外)?如果不存在又是为什么? 
  我想了解一下:最小公倍数=两数乘积 / 最大公因数,出自于哪里? 
  诗歌《冰雹之路》,大家觉得如何? 
  圆周率π的这个用正切半角表示的无穷级数展开式怎么证明? 
  如何证明 1^2021+2^2021+…+1000^2021 能被 7、11、13 整除? 
  「只要整数的各个位数之和是 3 的倍数,那么这个整数就一定是 3 的倍数」是如何证明的? 

前一个讨论
玩《极乐迪斯科》之前需要了解哪些知识?
下一个讨论
海森堡当年不知道矩阵,他是怎么想出矩阵力学的?





© 2025-04-02 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-02 - tinynew.org. 保留所有权利