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高斯素数有类似于素数定理的分布律吗? 第1页

  

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高斯素数有和普通素数一样的分布规律!

对于 高斯整数 ,我们定义其 范数

若高斯整数 满足 且只有 平凡因子,则我们称 为 高斯素数. 比如

都是高斯素数. 由定义可知我们不考虑相伴的高斯素数.

记 为范数不超过 的高斯素数的个数,则称 为 高斯素数计数函数. 比如

则对于 ,我们有

高斯素数定理: .

证明

我们知道高斯素数只有三种,即

, .

, 为 型素数.

型素数 , .

若我们记 为不超过 的 型素数的个数, 为不超过 的 型素数的个数. 则当 时,我们有

又由于

由此可得

从而有 .

补充:若正整数 互素,则由著名的 狄利克雷定理 知 型素数有无穷多个. 若记 为不超过 的 型素数的个数,则我们有

其中 为 欧拉函数.




  

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