首先,我不是很认同数学系的同学把「计算」和「证明」这两件事割裂开来。
记得我读本科时跟随学校的彭双阶老师学习《泛函分析》的时候,彭老师在课堂上讲过一句话让我记忆至今:“我判断一个学生数学功底扎不扎实,简而言之、就是你拿到一个问题,提起笔来能先算两步,看看这个问题能不能被转化成什么你知道的东西。”
事实上,细看数学上的很多问题——无论是后来我在学习过程中碰到的新困难,还是回顾自己以前学习时的旧疑惑——都没有跳出彭老师对我们说的这句话。题主今年是大一,我来举个你知识范围里能理解的例子吧:
正常的教材编写体例,《数学分析》前面几章讲的应该是:
1、「数列极限」(这个地方讲收敛和发散的含义);
2、「函数极限」(这个地方讲函数的连续性);
3、「微分学」(这里讲函数的求导).....
——在微分学里,一般讲完导数的定义和含义之后,接下来谈的是「可导」和「连续」之间的强弱关系:这都是函数的局部性质,但是前者要比后者更强;谈完这一点后要讲几个简单函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的链式法则,以及反函数的导数公式。
我们就来谈谈反函数的导数公式这件事儿。
我们先来看看这个定理是怎么说的:
一般来说,假设函数 在包含 的区间上是连续而且严格单调、 在 处可导并且 ,那么函数 的反函数 在 处是可导的,这个结果是。
——我告诉你了结果,这就是一道证明题,我把最后一个结果拿掉,这就是一道计算题,其实本质上没有差别。好吧,关键的问题是:未来你科研过程中,面对的很多问题是没有答案的,你最好的方法,是用不严谨的方法估出一个可能的结果,然后再从严谨性的角度去证明它。
比如这个反函数的导数公式,我把答案拿掉,问你结果,你怎么办呢?
——如果你「链式法则」学得好,你大概可以考虑一下: ,两侧求导之后算一下,就是 ,这个结果是: ;
当然,这么做是很不严谨的,因为链式法则要求你用的时候必须事先知道 这个内层函数也是可导的,而这里我们实际上不知道,所以你还得用定义去证明,但是你如果在这儿能大概算一下,接下来证明的时候:
(P.S. 知乎的TeX实在是太难用了,这个等号到底是怎么对齐啊啊好气...希望有高人能指点一下。)
这个公式是不是就好理解一点了?至少、第二个等号处为什么把 这个分子换成它在原函数中 这个形式拿下去做分母,这一步的操作就显得显然了很多——因为我的目的是为了在分母上凑出一个 啊!
——至此,你看出来「计算」和「证明」这两件事儿在数学中的作用了吗?
仔细再看数学中的所有问题,其实证明读不下去,我个人的原因都在于:“我没有办法理解作者在这里为什么这么搞”;或者“他这一步改写的很好啊,怎么想到的!”
这个中原因,我想很可能是因为我自己算的不够溜。
我想我很有必要把文章最初的那句话在这里再repeat一下:
判断一个学生数学功底扎不扎实,简而言之、就是你拿到一个问题,提起笔来能先算两步,看看这个问题能不能被转化成什么你知道的东西。