如何直观地理解阿贝尔变换恒等式？ 第1页

写出几项来, 阿贝尔恒等式就没那么神秘了，只是一个简单的恒等变形：

设,

用 来表示数列 的部分和, 即

于是 可写成

总结起来就是"用部分和数列取代原数列". 而这个想法在中学数学和大学数学中也经常出现，例如下面这个高中数学题：

设 , 设 均为实数且满足 和 .

求证 .

把问题中的 转化成它的部分和数列 即可. 我们断言对于任意的 , 都有 . 原因如下: 因为 , 所以 , 于是

即 .

把所要估计的式子写成 的形式：

这里用到了条件 . 然后利用每一个 , 上式

.

再来看一个大学数学中的例子：设无穷级数 收敛, 求证

设 为数列 的部分和数列, 则题目条件就是说数列 收敛, 设 . 把要估计的式子改写成 .

而 , 所以上面式子的极限是 .

总结一下, 我们既可以把这两个例子理解为“应用阿贝尔求和公式”，也可以理解为使用了“用部分和数列取代原数列”的想法.

高赞提到了Abel变换是分部积分的离散版本，不过第一眼看上去可能不太明显，我当时学到Abel变换的时候完全没看出来和分部积分有个啥关系嘛（菜），这里简单写一下作为笔记啦。

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分部积分大家都很熟悉：

当然我们也可以把它写成：

它就是简单的微分法则 两边做一次定积分的结果

那么离散情形下有没有上述微分法则的类似物呢？

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答案当然是有啦。当然在离散情形下就没有微分了，不过不要慌，我们有差分。

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和微分的符号 对应的，差分的符号是 ，定义为 ，相当于离散的微分（如果微分是无限接近的两点，那么差分就是相距1的两点，没办法，离散情况下不能更接近了嘛）

现在让我们来折腾一下 看看有没有什么有趣的结果：

很好，现在我们有一个和 形式很像的“差分法则”：

嗯...有什么用呢？

回顾一下，分部积分公式是我们把微分法则两边积分得到的，那...

...要不我们求和一下看看？

嗯，有点意思，我们已经很接近了

现在只要把 变为 代到上边的式子里，就有

awa这不就是Abel变换嘛！！！

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总结：

微分法则 有离散形式的类似物

仿照对微分法则积分得到分部积分公式，对离散形式作求和我们就得到了Abel求和公式（Abel分部求和）

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注：

1. 这里的差分指的是前向差分

2. 我更喜欢这个形式的Abel公式（从m到n求和）

因为这形式和分部积分的联系更明显，比较好记

3. 我把 叫做Abel变换的差分形式，记不住Abel变换公式的时候，记它也挺不错（就是记性差（死））

4. 突然发现这好像是我的知乎首答诶(//∇//)

大佬回答完证明过程了，，不过既然问题里着重强调了“直观理解”，那几何直观的话我来抛砖引玉好了（可能大佬从代数式上就已经觉得很直观了2333）

阿贝尔变换里的 和 感觉上地位是有一点不同的，毕竟变换完之后 是做了个差分，而 却做了求和。为什么不先处理一下原式，让它看上去“更对称”一点呢？基于这种模糊的想法，我接下来会把题干原式里的 记成 ，那么原式里的 就变成了 （为什么选择处理 而非 ？可能是因为在几何上面积更好看出来也好画吧。）

原式就变成了

之后就是小学生也能看得懂的“阶梯形状”的割补法了。

（好吧，，，我的图里a和b还是和题主给的标反了→_→大家能明白意思就好）