大一数学分析学习是偏证明还是偏计算？ 第1页

首先，我不是很认同数学系的同学把「计算」和「证明」这两件事割裂开来。

记得我读本科时跟随学校的彭双阶老师学习《泛函分析》的时候，彭老师在课堂上讲过一句话让我记忆至今：“我判断一个学生数学功底扎不扎实，简而言之、就是你拿到一个问题，提起笔来能先算两步，看看这个问题能不能被转化成什么你知道的东西。”

事实上，细看数学上的很多问题——无论是后来我在学习过程中碰到的新困难，还是回顾自己以前学习时的旧疑惑——都没有跳出彭老师对我们说的这句话。题主今年是大一，我来举个你知识范围里能理解的例子吧：

正常的教材编写体例，《数学分析》前面几章讲的应该是：

1、「数列极限」（这个地方讲收敛和发散的含义）；

2、「函数极限」（这个地方讲函数的连续性）；

3、「微分学」（这里讲函数的求导）.....

——在微分学里，一般讲完导数的定义和含义之后，接下来谈的是「可导」和「连续」之间的强弱关系：这都是函数的局部性质，但是前者要比后者更强；谈完这一点后要讲几个简单函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的链式法则，以及反函数的导数公式。

我们就来谈谈反函数的导数公式这件事儿。

我们先来看看这个定理是怎么说的：

一般来说，假设函数 在包含 的区间上是连续而且严格单调、 在 处可导并且 ，那么函数 的反函数 在 处是可导的，这个结果是。

——我告诉你了结果，这就是一道证明题，我把最后一个结果拿掉，这就是一道计算题，其实本质上没有差别。好吧，关键的问题是：未来你科研过程中，面对的很多问题是没有答案的，你最好的方法，是用不严谨的方法估出一个可能的结果，然后再从严谨性的角度去证明它。

比如这个反函数的导数公式，我把答案拿掉，问你结果，你怎么办呢？

——如果你「链式法则」学得好，你大概可以考虑一下： ，两侧求导之后算一下，就是 ，这个结果是： ；

当然，这么做是很不严谨的，因为链式法则要求你用的时候必须事先知道 这个内层函数也是可导的，而这里我们实际上不知道，所以你还得用定义去证明，但是你如果在这儿能大概算一下，接下来证明的时候：

（P.S. 知乎的TeX实在是太难用了，这个等号到底是怎么对齐啊啊好气...希望有高人能指点一下。）

这个公式是不是就好理解一点了？至少、第二个等号处为什么把 这个分子换成它在原函数中 这个形式拿下去做分母，这一步的操作就显得显然了很多——因为我的目的是为了在分母上凑出一个 啊！

——至此，你看出来「计算」和「证明」这两件事儿在数学中的作用了吗？

仔细再看数学中的所有问题，其实证明读不下去，我个人的原因都在于：“我没有办法理解作者在这里为什么这么搞”；或者“他这一步改写的很好啊，怎么想到的！”

这个中原因，我想很可能是因为我自己算的不够溜。

我想我很有必要把文章最初的那句话在这里再repeat一下：

判断一个学生数学功底扎不扎实，简而言之、就是你拿到一个问题，提起笔来能先算两步，看看这个问题能不能被转化成什么你知道的东西。