椭圆的一般方程 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中心点坐标如何推导？ 第1页

@三川啦啦啦 给出了一个好方法，但是分析的感觉比较浓，缺少一点题主要的线性代数的韵味。

如果我们假定一个椭圆在经过线性变换之后还是一个椭圆，且其中心恰好变换到新的椭圆的中心上，那么我们可以利用一个巧妙的线性变换将原来的椭圆变换为一个长/短轴与坐标轴平行的椭圆，从而方便地求出其中心。

对坐标 执行变换 ，可以得到新的坐标

，

于是

。

将其代入原先的椭圆方程，可得

，

展开、合并，可得

，

发现这是一个新的椭圆，且长/短轴平行于坐标轴。通过配方容易求得它的中心

。

然后对它执行线性变换 ，可得原来的椭圆的中心

。

题主问 是怎么出来的，其实如果认真看一下我之前提到过的那个答主的回答的话就会发现这个式子的影子。

看到这张图上最后那个线性方程组，你仔细看一下的话会发现，它其实就是

，

即

，

因此

。

寻找椭圆中心的思路可见上图：我们找到椭圆两对关于椭圆中心对称的切点即可。

我使用椭圆一般方程的通常设法，希望题主理解：

即椭圆方程系数矩阵

如何求如图中的 、 、 、 这四个切点呢？无非就是求 与 的四个极值点罢了，由隐函数求导公式：

于是得到 的两个极值点 、 所在的直线方程，同理也可得到 、 所在直线，于是解下面方程组即可：

这个方程组的系数矩阵恰恰是矩阵 的前两行。由克莱默法则，方程的解为

即

此为椭圆中心的坐标。

注：叙述中所有涉及分母的地方都可以保证不为零，相信这是一条多余的注释。