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如何证明全体n维正交矩阵组成的集合是全体n维矩阵集合上的紧集? 第1页

  

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本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布

这个题目没有指定拓扑,那这里我就把全体 阶矩阵 看成赋范向量空间 并赋予通常的欧氏范数(这其实就是 上的Frobenius范数)。

根据Henie-Borel定理,在 (配备欧氏度量)上,紧等价于有界且闭。因此我们只需证明全体正交矩阵的集合 有界且闭。

有界是简单的,因为正交矩阵中的每个元素都小于等于1,所以范数不会超过 .

现在证明闭。假设 ,其中 ,则 且 。于是 ,并且 是有界的(因为 并注意 )。不妨设 。此时

(第一个 用了范数的三角不等式以及Frobenius范数的相容性)

所以 ,即 。所以 。这表明 是闭的。




  

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