矩阵的指数函数到底说的是个啥？ 第1页

谢邀.

首先说exp的计算吧，很简单，对于（实或复）矩阵A，先把A化成Jordan标准型，也就是

这样的话，按照定义，. 因此只要计算Jordan标准型的exp即可.

而Jordan标准型分块对角的，每一块是一个Jordan块，因此只要计算Jordan块的exp即可.这里计算一下就好了.

Rk. 事实上，因为，时常也会直接计算，那么对于Jordan块，同样可以计算

上面的计算是因为每个Jordan块可以写成，由于和可交换，因此

而是幂零的，并且的k次方很容易看出来，所以很好算的.

我说清楚如何计算了吗？

那么好，现在说一些理解的问题，在数上面的exp是自然的来自于这样一个微分方程：

其解为.

而在向量上面，这样的微分方程也是有的，也就是

其中是向量值函数，是向量. 那么类似数上面的东西，我们完全可以把这个里面的解涉及的关于A的那个运算也叫做exp.

但是个人感觉，一个更好的理解方式是函数演算(functional calculus). 这里直接说复的情形了. 很简单，就是把幂级数推广到矩阵上. 矩阵可以加可以乘，而且关键的是，可以取极限，因此可以定义幂级数，也就是把这种东西推广到矩阵上，定义，其中是矩阵. 完全类似，可以利用矩阵的范数讨论幂级数的收敛问题，类似于用复数上的模去讨论收敛半径. 用这种方法，可以把各种我们能想到的解析函数推广到矩阵上，例如对于矩阵，完全可以定义，，，还有，等等等. (前面那些收敛半径是正无穷，但后面两个就不行了.) 用函数演算可以干很多很多好玩的事情，在此不表……

btw 一般的函数演算是用Cauchy积分定义的，因为那个幂级数未必要在某个圆盘上都有定义，只要在的谱点附近定义就可以了，而后者的形状未必是规则的.