如何证明全体n维正交矩阵组成的集合是全体n维矩阵集合上的紧集？ 第1页
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这个题目没有指定拓扑，那这里我就把全体 阶矩阵 看成赋范向量空间 并赋予通常的欧氏范数（这其实就是 上的Frobenius范数）。
根据Henie-Borel定理，在 （配备欧氏度量）上，紧等价于有界且闭。因此我们只需证明全体正交矩阵的集合 有界且闭。
有界是简单的，因为正交矩阵中的每个元素都小于等于1，所以范数不会超过 .
现在证明闭。假设 ，其中 ，则 且 。于是 ，并且 是有界的（因为 并注意 ）。不妨设 。此时
（第一个 用了范数的三角不等式以及Frobenius范数的相容性）
所以 ，即 。所以 。这表明 是闭的。
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