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如何证明对任意给定的正数e,存在M上的矩阵范数||A||,满足不等式||A||<=谱半径+e? 第1页

  

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在各地哀鸿遍野感叹知乎学术问题世风日下的大环境下,难得看到一个还挺有意思的问题……

先说有限维矩阵里的情形。结论可以从下面的一个等式导出: ,其中 是谱半径, 是算子范数.

证明不困难. 很容易发现如果A是对角阵或者可对角化的话,上述等式一定是对的,取P是把A对角化用到的转移矩阵就可以了。一般的,考虑A的Jordan标准型,即A可以相似到D+J,其中D是对角阵并且 ,J是分块对角阵,每一块是上三角阵,只有临近对角线的一斜排是1. 所以如果能够把J相似到一个很小的矩阵就可以了. 这来源于下面的一个观察:

中间的矩阵就是J的一块了. 所以可以找到对角阵Q,使得 是一排很小的 ,那么范数就不超过 . 注意到Q和对角阵D是可以交换的,所以存在可逆矩阵P,使得

.



有趣的是,这个命题有无穷维的推广。我们可以证明如下命题:

记 为Hilbert空间H上有界算子全体,对任意 , ,存在H上的等价范数 ,使得 ,其中 是从属于的算子范数,即 .

换句话说,对于有界算子全体而言,谱半径一样是全体算子范数的下确界。换个内蕴的说法,如果 是一个算子代数(即可以实现为 的闭子代数的Banach代数,例如C*-代数),那么 中某个元素的谱半径是所有等价的Banach代数范数的下确界。

证明也很简单,但是前面的过程肯定不适用了,因为没有相似标准型了。这时候用这样一个技巧:

记 . 根据谱半径的Gelfand公式

所以存在N当n大于N时,有 . 我们定义 ,则

所以此时 . 证毕

上述命题还可以推广为不等式对 成立,其中 .

ref: Theorem 5, Rodrigues, Hildebrando M.(BR-SPL3-CMC); Solà-Morales, J.(E-UPB-A1) Linearization of class C1 for contractions on Banach spaces. (English summary) J. Differential Equations 201 (2004), no. 2, 351–382.




  

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