由AB＝BA＝O可以得出什么结论？ 第1页

有一个概念叫作“垂直”，是指的 ，但是一般并不说两个任意的矩阵垂直，只有当这两个矩阵都是正定（或者自共轭）矩阵的时候才说它们垂直。自共轭矩阵总是可以对角化的，而两个矩阵可以交换，就意味着可以同时对角化，而它们的对角化的乘积是0，意味着同时对角化之后，如果某一个矩阵的对角线上某一个元素不是0，那么另一个矩阵的对应的位置一定是0. 也可以等价地说成是， ，任何一个向量都可以分解为 和 的元素之和。

任何一个矩阵都可以分解为半等距矩阵（或酉矩阵）与正定矩阵的积，并且在两个矩阵的核相等的条件下分解是唯一的。半等距矩阵给出了向量空间的某一个子空间与另一个子空间之间的同构，如果分别记 而 ，那么 当且仅当 .

两个半等距矩阵“垂直”直观上就是 的始空间与 的终空间垂直， 的终空间与 的始空间垂直。

矩阵的极分解在直观上是这样的：首先假定有如下的矩阵

这个矩阵把e1映射为2f1，把e2映射为πf2，把e3映射为f3，把e4映射为2f4

这个时候，如果把所有系数抹去，就得到了一个半等距矩阵：

另一方面，如果把箭头抹去，则得到了一个正定矩阵：

所以原矩阵等于有箭头没系数的半等距矩阵乘以有系数没箭头的正定矩阵。