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若 f(f(x))=x²+1,则 f(1) 为多少? 第1页

  

user avatar   asuka2001 网友的相关建议: 
      

请那些来搞笑的人别再污染答案池了行不

下面我来写一个回答.由于没有给定义域.我们愉快的分类讨论吧

先说结论若 则不存在

则答案为

,诸 ,则不存在.

约定 表示 迭代n次后的函数,

先说最简单的,若 , 那么不存在.其理甚易.由于集合有限,且 ,因此计算 可得无限长的列,与集合有限矛盾.因此不存在.

再说较复杂的,如果 ,那么不存在这样的函数 .

证明如下:

(加说一句,也有很简单的证明叙述,只不过我下面要写的不仅仅对于该问题有效,也对所有类似 的都有用,更有普遍性.)

对任意 定义 当且仅当存在两个非负整数 使得

很明显,这是一个等价关系.每一个等价类内部以实数为点,若y=f(x)则连一条由x指向y的有向边,如此构成了一个有向图,把这个图叫做函数f的一个轨道图,它是联通的.每个点的出度严格为1.由于等价类有可能不止一个,那么f也可能有不止一个轨道图.

轨道图有两种:循环的和非循环的.一个轨道图是循环的当且仅当它存在一个顶点x满足 ,若如此,则称其为循环的.称 ,规定圈内点互不相同,n称为圈的阶.且由于圈内点不可能向外指以及轨道图是联通图,因此一个循环轨道图有且只有一个圈.记一个有n圈的轨道图为n循环轨道图.

注意到,非循环的轨道图必然有至少可数无穷多的顶点.

我们想要知道 是怎样从 所生成的.这个很有意思,犹如细胞分裂,让我想起了阿米巴变形虫.

引理1: (1) 的一个2m循环轨道图可分裂为两个 的m循环轨道图

(2) 的一个非循环轨道图,可分裂为两个 的非循环轨道图.

(3) 的一个2m+1循环轨道图,也是 的一个2m+1循环轨道图.只是样子不太一样.叫这个操作变形好了

看图意会一下:以下图中最上方是f的轨道图,下方是 的轨道图


那么如果你还不理解可以看看这个随手写的例子,

因此我们知道, 的所有轨道图都是由 的轨道图或分裂或变形而来的.

非循环分裂为非循环.奇循环变形为奇循环.因此偶循环只能由偶循环分裂产生.

即 的一个2m循环轨道图,只能由 的4m循环轨道图分裂而产生.因此,对任意m正整数,如果 的2m循环轨道图的数目是有限个的话,那么一定是偶数个.(废话,都是一分为二形成的)

那么,考虑函数方程 ,即 的可解性.由于 ,则 的2m循环轨道图就是 的2m循环轨道图,由上结论知道如果是有限个,则必为偶数个.

引理2:对任意正整数m, 的2m循环轨道图,如果是有限个,则必为偶数个

我们的问题是 ,是否有解.考虑 的2循环轨道图,求解 得到

.得到 ,他们是一阶不动点.而 ,因此g有且仅有一个2循环轨道图,这与引理2矛盾!

因此,对于 的情况,该方程无解.

的情况明天再更.


若 ,我们先头脑风暴一下,写一写简单的性质

(0) 至多有两个解, .且

(0.5) 在 上是单射,在 上也是单射

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

假设 ,若 ,则 .因此

而 ,因此 .这与(3)矛盾.因此

因此如果 那么 请注意属于不代表可取遍.不过通过简单的构造我们可以证明它可以取遍.

上面已经说过m不为0

下面考虑 的情况. 如果 ,那么由引理(7)可知f(-m)=+f(m)或者-f(m)

而f(m)=1, ,由引理(3)知道 ,因此

同上, , 则

, .矛盾

综上所述, .

接下来,我们已证明了m不会取到这个之外的值,那么只要证明它可以取遍这个之内的值即可!

注意到 的轨道图实际上都是无循环轨道图,因为 .

接下来就是,注意到 的轨道图以一分为二的形式产生 的轨道图.现在我们把 的轨道图再两两组合粘贴回去即可.任意取范围内m加入0所在的轨道图.余下的两两配对即可.OVER


user avatar   du-hang-99-77 网友的相关建议: 
      

曾经就这个问题跟我妈讨论过。

我说我这么要强这么独立,怎么可能找得到对象,现在男生都喜欢软软的什么都不懂的瓶盖都拧不开的笨笨傻傻的妹子呀,比如我表妹那种╮(╯▽╰)╭

我妈说:其实吧。。。。。如果我真的是那种什么都不会,什么事情都要你爸来做的女人,你爸早就跟我离婚了。

我妈的意思是,刚开始的时候,可能那种温温软软的妹子会很讨喜,但是过日子,如果什么都要依靠男方,短时间可能还好,几年过下来,早就烦了。而且生活中那么多事,那么多问题,如果女方一点忙都帮不上,还要添乱,这日子要怎么过。

像我妈这种女人,不仅自己工作上家庭上都可以处理得很好,还对我爸的工作有很大的帮助,我爸能在学校不用趋炎附势巴结领导,甚至还可以因为校长不公平的对待直接拍校长的桌子跟校长对骂,还一点事都没有继续当先进当优秀教师,年年带重点班,教书教的好是一方面,跟我妈在教育局工作不可能没有一点关系。
(因为曾经也有个老师跟校长有矛盾,后来被找了个借口调到农村的学校去了,而我爸骂了校长这么多年,从来没谁敢把他怎么样,顶多是没有升职的机会了╮(╯▽╰)╭)

我爸真的是典型的书读得迂腐了的那种人,特别清高,完全不懂变通,因为看不惯他们年级组长,他们年级的活动从来不参与。有一次他们校长开会碰到我妈,就跟我妈说,x老师从来不参加集体活动啊,不合群。我妈回来根本都没给我爸说,就偷偷告诉我了。
而我妈就是那种像水一样的女人,什么地方都可以淌过去,石头扔下去也只是泛起一点涟漪,包容我爸的一切,呵护着他的自尊心。而我爸也知道我妈很有能力,为这个家付出了很多,特别尊重我妈,偶尔闹脾气都像在撒娇。曾经有别的老师说我的父母就是典型的相敬如宾。

我一直觉得理想的夫妻关系就应该是这样,就像《致橡树》里那种,我跟你肩并肩站在一起,不依附你,也不会攀附你,更不会一厢情愿的奉献或者施舍,我们共担风险,共享繁华。

真羡慕啊。

真想找一个我妈那样的人。


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看评论感觉好像大家都觉得我母亲罩着我父亲,我父亲高攀了我母亲的感觉。
可能是我表述的问题吧,其实,你们想,我妈这种人,会去找那么特别废的男人过一辈子么╮(╯▽╰)╭

我爸当年高考,是全地区数学单科第一,总分第二的成绩考的重本(那所学校现在也是211,985),整个人心高气傲的不行——但是通常这种心高气傲的人活了这么多年还没被人打,多少还是有点本事的。

四川人嘛,娱乐活动就是打麻将打牌,我爸其实打得很好,因为他记得住牌!他能算牌!这简直就是外挂嘛!但是他很少打牌,一年中可能就过年那会陪家里亲戚玩几把。平时的娱乐活动,除了守着电脑打无比幼稚的小游戏,他没事,就!做!高!考!题!
市面上大部分教辅资料,都可以在他书架上找到。

我相信大家在读书期间对那种强迫学生补课的老师都是有了解的╮(╯▽╰)╭但是我爸他呀,最讨厌补课,每次有学生家长找他给孩子补课,他都给人家说:上我的课,课上四十分钟认真听就可以了,不需要补课。

他教的班,数学成绩从来都是年纪第一第二。

学生都很喜欢他,大概大多数学生,都不会讨厌一个:不拖堂,不骂人,不补课,有耐心,好脾气,认真教学,不请家长的老师。【我爸比学生还讨厌拖堂,下课了比学生跑得还快】

跟之前那个校长的矛盾也是,那个校长总是喜欢搞个大工程,从中牟利,完全不在教学上花功夫,所以我爸特别讨厌他和那几个学校的中高层领导,才不喜欢参加学校的活动的。
后来校长被双规了,判了十几年,中高层整个换了一拨,我爸又开开心心的去参加教研活动了╮(╯▽╰)╭
春天桃花开的时候还会跟他们去爬山。。。。。。。ORZ

说这么多其实想说我爸是个特别认真特别聪明的人,绝对不是不会社交的书呆子那种。

应该说,我父亲是一个比较纯粹的人,真诚,不做作,不媚俗,没有太多的欲望,不关心那些乱七八糟的事情的理想主义者。用我妈的话说就是象牙塔里生活了一辈子的人。

而这个象牙塔,很大程度上功劳要归我妈,我妈因为工作的关系,跟全市的所有中小学校长啊主任啊都很熟。可以说我妈把社会阴暗的那些东西,挡在了我爸看不到的地方。

这点真的太难得了!

所以我一直觉得我妈就是太宠我爸了,一直都是那种,出了事也没关系,我帮你想办法、帮你解决,再顺便嘲笑一下你 的那种。

然后我爸就是有点傲娇的那种,其实可心疼我妈了。我妈做了什么菜,问他好不好吃,他每次都说一般,还行这样,但是到外面去吃饭,他每次都说,还没你妈做的好吃(≖ ‿ ≖)✧就是这么口谦体正直。

最后附上致橡树。我啊,是真的觉得这种平等的、互相尊重、互相扶持、并肩前行、共同成长、精神上的契合 是最理想的相处模式了。

致橡树 舒婷


我如果爱你——


绝不像攀援的凌霄花,借你的高枝炫耀自己;


我如果爱你——


绝不学痴情的鸟儿,为绿荫重复单调的歌曲;


也不止像泉源,常年送来清凉的慰藉;


也不止像险峰,增加你的高度,衬托你的威仪。


甚至日光。


甚至春雨。


不,这些都还不够!


我必须是你近旁的一株木棉,做为树的形象和你站在一起。


根,紧握在地下;


叶,相触在云里。


每一阵风过,我们都互相致意,


但没有人,


听懂我们的言语。


你有你的铜枝铁干,


像刀、像剑,也像戟;


我有我红硕的花朵,


像沉重的叹息,


又像英勇的火炬。


我们分担寒潮、风雷、霹雳;


我们共享雾霭、流岚、虹霓。


仿佛永远分离,却又终身相依。


这才是伟大的爱情,


坚贞就在这里:


不仅爱你伟岸的身躯,


也爱你坚持的位置,脚下的土地。




  

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