为什么有理数 1/49 看起来这么像是个无限不循环小数？循环节在哪里？ 第1页

好了，现在就用这把钥匙，把1/49变成循环小数的形式：

1/49的分母49的因数，既没有2，也没有5，判断1/49一定是纯循环小数，所以可以套用这把万能钥匙，把1/49写成这样的分数形式：

四、欧拉～o了？！（难度：★★☆☆☆）

刚刚我们已经得到了： 。

为了让式子更简洁，我们来把这个式子变个样：

这时候，就可以发现，这个式子是在说：10^m除以49余数为1，即：

我当时就胎动了一下，感受到了欧拉定理的召唤，赶紧把式子写成：

，即10^m与1对模49同余

很快啊！我赶紧和欧拉定理对接，欧拉定理长这样：

，即 与1对模n同余

你看看！前面那式子是不是和欧拉定理亲生的一样！

眼看就顺产成功了，还愣着干啥呀，赶紧把n=49代到欧拉函数 里！

我当时一看到42就以为哦了完事了，毕竟前面我的大屏计算器算出了m也的确是42没错。

然后我想当然地以为m= ，准备文章收尾的时候，突然感到不对劲：

如果循环节长度 ，根据欧拉函数特性当n为素数时 ，但尼玛1/3的循环小数位显然是1不是2啊！！！！！

我这时候慌了，赶紧翻了下这个问题下的其它回答，看到有几个提到结论是m是 的约数，再一算，n为素数43的时候， ，也就是说1/49和1/43的欧拉函数都是42，但1/43的循环节长度不是42，而是21！我当时就愣了，哪里错了？

嗯……我老实交代，上面那个问题居然让我想了2天，因为我误以为是前面万能钥匙那一步m设得有问题，验算了n遍，我以为我是傻，后来我才突然发现，我是瞎……

我竟然看着 和 想当然地以为 ，但事实是

这两个式子意思天差地别！前者 意味着m只有唯一解42，后者 意味着m的解不止一个，即m可能为42约数中的任何一个，m为1、2、3、6、7、14、21、42的其中一个！

所以光用欧拉定理还是不能完全确定m的值啊！！

偏偏这个42的约数还特别多，烦死了！！！（TAT），怎么办啊！！！枚举法我是拒绝的！！！更可恶的是这个问题看起来貌似极其简单……

五、冒险越来越深入了……（难度：★★★☆☆）

高能预警：这段的难度主要在于术语理解，逻辑是很简单，难度相当于中国人看美国八卦报纸，你英语好看起来很容易，都是家长里短的破事，你英语菜看起来不知所云以为是什么高大上的东西。

温馨提示：这段对没有数学基础会有难度，可以直接跳到六，六是真刺激。

最终我又花了1天时间现啃了一堆资料，就硬啃，最终终于明白事情如此简单：

我要求的m，被称为“10模49的阶”。

抽象吧？不准下车，车门已经焊死了，你就陪陪我走到底吧！我这3天简直就像在黑暗里独自前行，永远不知道下一个坑在哪里！

嗯，回到刚刚那句话，“10模49的阶”，你就当阅读理解做，这其实不是一个数学题，而是一个语义疯狂套娃的脑筋急转弯！

“模“没什么好说的，就是取余数，至于这个”阶“是什么，真得好好解释下：

对于欧拉定理 ，当a和n互素（这句条件等价于1/n为纯循环小数），此时满足 的x存在最小正整数解，这个x称作a模n的阶，并且这个阶要么等于 ，要么是 的约数。

别慌，这句话的关键词就两个字“约数”。这足以一半解答了我们的疑惑。前面我们发现，1/49和1/43的欧拉函数同为42，但1/43的循环节长度为21，本质是因为循环节长度并不等于欧拉函数的值，而是这个值的约数，也就是说，目前的全部推理，只能确定它俩的循环节长度为1、2、3、6、7、14、21、42的其中一个，只不过1/49的循环节长度正好落在了最大值。

那么问题来了，这“阶”怎么求呢？哎，这时候又必须要谈“原根”：

若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。

这句话对于大多数人来说应该还是天书，但其实数学证明很多时候就是颠来倒去说同一件事。

可以肯定的是，10是模49的一个原根，且它的阶正好就是 ，所以1/49的循环节长度是42。

那么问题来了，有什么 ，阶却不是42的n呢？

因为 10 不是 43 的原根，所以 10模43的阶不是42，是21。

至于原因，我已经在开头给出的链接中非常详细解答了，欢迎大家阅读！！

六、后记

因为我是业余学习的数学，数论也是因为觉得这个 1/49 的问题有趣，临时学的

所以一开始我几乎没有任何知识储备，甚至天真地以为对于任意正整数 x ，人类应该已经有一个确定的什么函数 f(x) 可以无需枚举就能得出 1/x 的循环节长度，但到处都搜不到答案，

于是我就开始“闭门造车”，研究了很久，一直发现没有结果，这个过程非常煎熬

最终通过自己持续不断的思考，终于发现这个问题最终指向了一个终极难题：大数分解，本质上触及了黎曼猜想（关于这一点，我在开头给出的链接也详细解答了）

——嘻嘻，那我解不出也是理所应当的嘛！

这样的经历给我带来非常神奇的体验，以下是当时的心情记录：

……我就想办法自己找这个函数，因为我感觉这个问题看起来极其简单，诡异的是我研究了一整天都没找到办法……

我仔细翻看了这个问题下的所有答案，竟然没有人能解答我的问题。
难道……是我的问题太简单了吗？

我呆呆地写了十页纸，反反复复验算，希望不断被点亮、熄灭、点亮、熄灭，我逐渐感叹自己是不是智商不配碰数学，这么简单的问题，算不出来一定是因为我太笨了……

我很明显感觉到自己在一个怪圈里打转死都出不去。这种感觉非常恐怖，就好像在一片漆黑的森林里寻找回家的路，走了很久发现自己还在原地，感觉永远没有出头之日，然而心底却又有一个声音不停和我说，你再撑一下就到家了！

最终，我还是放弃了，我承认自己不行，于是拿手机刷了很久乱七八糟的东西放松，然而我满脑子都是那个问题，根本挥之不去，于是我打开电脑不停换关键词搜，我先是在一篇小论文看到了一个叫做Artin猜想的东西，我突然意识到了什么，让我喜出望外，但那也不是我要的的东西，我继续不停检索，终于突然搜到了“最小正原根上界问题”，我感觉希望之光又被点燃，赶紧看下去：

华罗庚于1942年应用狄利克雷特征函数的概念及三角和的估值方法，在估计最小正原根的上界方面，得到了很好的结果，他证明了：g(p)<2^r*p^(1/2)，其中r是φ(p)=p-1的不同质因数的个数。
1959年，王元证明了g(p)=O(p^(1/4+ε))。
（可能我没有找到最前沿的资料，但这个问题似乎真没有完美解决，求大佬给我一个痛快）

我瞬间站了起来，我和我老婆说我竟然自己发现了世界级的数论难题！
我老婆正在忙她的画，似乎一下子没明白我在说什么。
我就和她说：“可能你不知道我在说什么，但我依旧想和你传达我的喜悦。”
我老婆就像往常一样夸我：“老婆太强了！”
尽管我此时可以为我的小聪明欢呼，但事情却细思恐极……

我，追随着一只1/49的美丽蝴蝶，等我扑到它，又出现一只蝴蝶1/43，这时我发现刚刚抓到的1/49蝴蝶又逃跑了，我就一路追过去，越来越累，却还是不停跑，等我反应过来才发现，四周早已漆黑一片，我努力寻找人的踪迹，找了好久好久，才看到有人立了一块牌子：“恭喜你到达边界，我们都没有走出去，你想再挑战一次吗？”

我的直觉告诉我赶快跑，不要在这个地狱一样的边界逗留！我一边跑，周围的风景一边回溯，一群素数的蝴蝶开始飞舞，一会儿组成最小原根上界猜想，一会儿组成Artin猜想……一会儿又是大数分解难题，一会儿又是黎曼猜想……

这玩意不是胎教，这玩意有毒啊啊啊！！！！
小恶、收刀入鞘、全身而退吧！！
突然间，我放下执着，一切都恢复了往日的平静。最近缺乏睡眠的我，只感觉浑浑噩噩，一想起这三天的经历，宛如做了一个荒唐的梦。

……恐怖如斯，不可名状！起点如此简单，只不过是自然数而已，并且我的每一跨步都不大，却只消五步就踏到了学术的边界……这种空间的失控感，简直诡异至极！
ho！原来数论就是数学的五步蛇！！！23333

～～★压压惊：传统美德之文末福利★～～

以下是我写这篇文章的内心戏：

总之，这次神奇的经历，让我与数学结下不解之缘

我决定投入更多的时间学习数学

目前在蜗牛般自学数学分析和抽象代数，我对这两个分支非常感兴趣

在学习过程中的任何见解，我都会无条件地分享给大家，共同进步～～