n维空间里的n个向量的最小夹角的最大值是什么？ 第1页

求最小夹角可以改成求单位向量内积的最大值，也就是

大胆放缩一下


等号成立条件是任意都相等，且，也就是所有向量夹角两两相等，且和为0，下面我们构造一个让等号成立的向量组，可以将条件改写成矩阵：

右边这个矩阵的n-1重特征值是，剩下一个特征值是0，0对应的特征向量是，剩下n-1个特征向量比较简单的一种构造方法是：

括号内由k个1，1个-k，剩下为0的向量组成。很容易验证它们是相互正交的。
令

则


直接简单让

则

这是一个简单的行操作，将Q的前n-1行乘以，最后一个坐标置0，注意到Q的每一行就是我们前面求出的，所以结果就是

也可以求出具体的表达式，留作课后习题（？），不过这里还有一个更简单的方法：
我们改让

这样


是个对称阵，而且特征向量也是。由于对应的特征值为0，也就是说有：

我们还可以注意到，是幂等的，这说明它是个投影矩阵。又由于它的秩是n-1，又刚好满足，所以它就是往的正交子空间上投影的矩阵。
这可就有意思了，那我们还需要用Q来计算X吗？直接通过投影的内积关系，就可以写出：

验证一下内积：

不考虑归一化的话，最简单的向量表达式就是：
n个坐标中，有个-1，最后一个为。
比如4维的情况下，就是(3,-1,-1,-1), (-1,3,-1,-1), (-1,-1,3,-1), (-1,-1,-1,3)
夹角为

不难发现这个X和我们最开始得到的内积结果的矩阵只差一个系数，这也是跟投影导致的幂等性相关联的。

从几何意义上来解释最终这个结论：

我们在n维空间中任取n个两两垂直的单位向量（一般也可以叫做单位正交基），求出它们的和的向量，作与这个向量垂直的超平面，然后将所有的单位向量投影到这个超平面上，得到的就是n维空间中n个向量两两成的角最大的情况。比如说，将一个直角投影到y = -x上，就得到了平面上成的角最大的情况；将一个立方体某个角上的三条边，沿立方体对角线投影到垂直的平面上，就得到了一个互成120°角的三维空间中成角最大的情况。