无穷维流形是什么意思？ 第1页

你可以参考Zeidler的nonlinear functional analysis with application第五卷的内容，结合58章（Euler-Lagrange公式）和72章（Banach流形）的内容。Banach流形说白了就是把chart等等的定义里面的 换成Banach空间，然后光滑性 表示的就是Banach空间之间非线性函数的Frechet导数的，以此为基础可以定义Banach流形的切空间/切从等等。

B-space就是Banach space的简写

这个概念对于无限维空间上的morse理论，各种极值问题都是蛮重要的。因为求极值里面切空间非常重要。特别是对于“带有限制”的函数极小值怎么求的问题，这方面我推荐你看

Variational Methods in Mathematical Physics: A Unified Approach

我拿有限维度的东西给你解释现代数学处理这个问题的基本想法，你再去学习Banach空间上的微积分（就是zeidler）那套书，然后结合你已经学过的黎曼几何知识，你就能理解了。

我们考虑这样一个问题：假设 , 是两个函数，那么

我们以下的“限制”最小值问题

（1）

也就是我们求 在水平集 （如下图）上的最小值，

好的，我们在假设 的水平集是下面这样的

如果我们把两个图结合在一起，你就会发现最小值点 满足什么条件？就是两个函数level在这点的切向量是平行的（当然了，我们假设 没有奇异点）。写出来就是, 存着 使得

高维度也是类似的，这点可以通过隐函数定理严格证明，但是通过这个图，你可以直观的理解，这就是最简单的Euler-Lagrange公式。

好，我们再进一步，我们显然很想研究以下曲线 的向量场 , 它总可以写成

然后，我们可以找到一个 , 这里 是 的拓扑补空间使得我们可以引入一个局部的坐标系使得

成立(这不过是反函数定理)，然后。绕了一大圈，我们终于回来了。我们把问题(1)变成了下面这个问题(至少是局部的)

这个时候，你只需要采用一个东西就可以了，泰勒展开。假设 , 于是可以得到

于是我们得到了充分性条件

.

把这两个条件引用到几何上就是第一和第二变分公式。对于一个“函数空间上的”最小值问题，同样的思路是一样的。比如求

的最小值，你首先把要求所有这样的曲线构成一个无限维度的空间 ，这样的话求弧长本身就是"函数"(应该叫泛函) ，而限制函数定义为

在无穷维空间上这种一般结果叫Ljusternik定理，在数理经济学里面应用范围很广。