除了π，e，0.618，还有没有其他一些有特殊意义的数？ 第1页

〈cyb酱☆的数学科普系列〉有一个很多人都见过，但是可能叫不出名字的常数：

数，或者如果你喜欢，可以叫【计算器常数】

为啥很多人见过呢？相信不少同学都有过这样的尝试，找一个计算器，调整到弧度制

输入任意一个初始值，然后不断按 按键，最后这个数会收敛到：

当然很多其他的常数也很有趣，我们不求广，宜求少但精，这个数有很多好玩的事情，让我们一一了解他们：

第零，我们先证明全局收敛性

因为不断按 相当于在计算 的值

不难发现，因为 的值域是 ，根据偶函数性质：

的值域是 ，结合中值定理、压缩映照原理，（其实这个想法挺Banach的，不过工具还算是比较初等）

，因此存在唯一的 的解

而且这个解正是上述迭代的不动点（回顾压缩映照定理证明就是构造

现在，我们证明了解的唯一性之后，就可以研究其性质了。

第一，这个数是一个超越数，怎么证明呢？

因为 ，因此，如果 是一个代数数

那么不难证明 是代数方程 的解，从而 是一个代数数

另外显然 是代数数的乘积所以也是一个代数数

但是结合我们小学二年级就学过的 定理（就是证明 是超越数的那位的著名定理）

当 是一个代数数时 是一个超越数，令 我们推出矛盾

从而我们证明了 是一个超越数，这样当然是一个无理数

当然，这个定理显然也能用来证明 是超越数，若不然， 是代数数

这与 是代数数显然是矛盾的，容易发现这与我们上面证明的思路很接近。

第二，现在我们来研究 的级数表示，利用 函数，我们有

，怎么证明呢？（当然如果你愿意，也可以将半整数的正弦写开）

下面的内容来自 在 年的文章（但我相信这个级数的发现应该远早于这篇文章），不过总的来说整个证明还是很简单的

首先我们应该联想到小学一年级学过的 方程

，我们很容易发现：令

也就是上面的方程中 的情形

所以我们先研究下 方程的级数解

很自然的想法是研究 看成关于 的 级数

不妨设

于是显然

对 分部积分不难得到

分部出来的项因为 时解很显然是

而 ，因此 于是

注意根据 方程

于是

后者的积分显然是 ，下面考察前者

后者根据 函数的性质，我们变换如下：

首先仍然是利用 方程把 换掉

接下来根据 函数的定义

（应该可以在特殊函数的书或者是复变、数学物理方法讲柱函数的地方找到）

于是简单观察发现

最后，我们就可以写

回到原题，代入 同时

结合我们熟知的恒等式

故这个 级数是绝对收敛的，于是结论得证

最后，也就是第三，做一点大家喜闻乐见的数值分析

如果使用 的方法，收敛速度如何呢？（相当于讨论在计算器不断按余弦的收敛速度）

选取一个合适的初值 （误差已经很小了）

很不幸的是速度其实非常慢：

为啥会这样呢？因为这个迭代收敛速度其实是一阶（线性）的

我们不妨设

这样我们有

利用微分中值定理我们有

而 介于 之间，考虑到 很小，所以

因此误差项 ，这显然是我们不能满意的

于是我们采用 法，这显然是一个二阶方法，让我们欣赏一下最后的结果

从图上看，迭代到第五次的时候，已经发现小数点后 位结果都是真切的

以上。