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从正整数 1~N 中任意取两数 m、n,设 P 为 m/n 可约分的概率,问 N→∞ 时,P为多少? 第1页

  

user avatar   ling-jian-94 网友的相关建议: 
      

简单答一下,欧拉函数 表示1-n之间与n互质的数的个数,显然修复掉m和n相等时的那一点点差异(区间足够大时可以忽略不计),就可以转化为求 (n是1-100,或者1-N之间的均匀分布)

接下来我们有

这里p是质数,也就是对n的所有质因子求乘积。把求乘积下面的条件改写为示性函数,可以变成对所有质数求乘积:

I(p|n)在p整除n时为1,否则为0。

对于任意整数a,当N足够大时,可以认为 ,同时对于不同的质数p1和p2,有

按照定义这说明事件 对于不同质数独立。

因此,可以使用独立事件的期望公式:

最后利用一顿解析数论的操作(见其他回答)可以得到结果为 ,注意这是两数互质的情况,可约则是




  

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