极限为0的函数为什么要单独命名为无穷小？有哪里特殊了？ 第1页

谢邀，你这个问题问的十分好，给你鼓掌！

有人觉得“比一切都小但不是 还不够特殊？”翻译过来就是：无限接近但又无法到达 。其实这根本就不是无穷小的特殊性，而是极限的一般性。举个十分明显的例子：函数 ，挖掉点 ，即约定 没有定义。即使如此，依然 ，即 无限接近但又无法到达 。以 为极限，就是无限接近但又无法到达 。这是极限的一般性。

那么，无穷小的特殊性究竟在哪？

数学发展史上，先出现无穷小的概念，后出现极限的概念。

早在 世纪，英国人Newton定义瞬时速度的时候引用了无穷小。很短一段时间 内，质点位移为 ，则平均速度为 ，当 无限接近 的时候， 就是瞬时速度。

这种定义已经引发了争议，引发争议的具体过程如下。

实验得知自由落体的下落高度 和下落时间 的关系为 ， 是重力加速度。

有时间增量 ，则位移增量为 ，此时间段内的平均速度为 。

然后Newton的跳跃性思维来了，直接令 。得到瞬时速度 。也就是下落速度 与下落时间 的关系为 。

争议：虽然推理与实验相符，但是不符合数学理论。之前用 作分母，就是默认 ，而后来删掉以 作为系数的项，也就是默认 ，那么 到底是不是 ？

其实，就连Newton本人也解释不清 （无穷小）到底是什么。无限接近究竟有多接近？

无独有偶，德国人Leibniz计算切线斜率也引用了无穷小，但是也说不清无穷小有多接近 。

最后德国人Weierstrass给出了极限定义，才解释清楚了无穷小是什么。

说到这里，无穷小的特殊性就很明显了，其特殊性就在作分母的时候体现出来。

若 ，则

。

求分式极限时：若分母不是无穷小，则可分别对分子和分母求极限，然后求商；若分母是无穷小，则不允许分别对分子和分母求极限。这就是无穷小的特殊性。