这个极限(1|sin1|+...+k|sink|)/k^3怎么解? 第1页

在着手解答之前，我们不加证明地陈述两个将要用到的结论

若 是无理数，则 在 上呈均匀分布。^[1][2]
若 在 上呈均匀分布，且 在 上可积，则 ^[3]

利用这些，我们首先来导出不太常见但十分有趣的极限

由 是无理数，取 代入 ，知 在 上呈均匀分布，而依三角恒等式，有 于是取 代入 ，就成立 这就是 的结果。

接着，我们利用 来推证另一个极限结论

考虑利用 分部求和。为此，记 则 于是 这就证得了

最后，我们来证明如下结论

若 则

这只需要利用序列极限定义就够了。依条件，对任意给定的 只要 充分大，就有
于是，对这充分大的 也将成立

打开绝对值号后取 的极限^[4]，即得

又由 的任意性，知 这就得证了。

至此，所有准备工作均已完毕，答案呼之欲出。命
代入上述结论，即得

这就是要求的。

参考

1. ^ 均匀分布(uniform distribution)，又称等分布(equidistribution)，粗略地说，如果一个序列在一个区间上呈均匀分布，那么这个区间的任意相同长度的子区间内就落有这序列相同数量的项，一句话，序列均匀地布列于这个区间。
2. ^ 本帖中所有地方的花括号{}均用于表示某数的非负小数部分，即{x}=x-[x].
3. ^ 这实际上是Weyl判别法的直接推论。
4. ^ 严格来说，这里应该分别取上、下极限再证明两者相等，但这比较繁琐，姑且做点不严谨的过程简化。