我按照题目的提示用复变做一下。
考虑扇形围道 ,其中 。从原点出发向右的三段曲线分别记为 , 为圆弧。则
。
设第一项为 。对于第三项,其参数方程可以写为 , 从 变化为零。所以 。第二项先不管他。
现在计算等式左边。 包含了 的两个一阶极点 。设它们中的一个为 ,则 。从而
由留数定理
容易证明第二项在 时为零,所以