为什么 1-1+1-1+1-1…=0.5？ 第1页

这个算式在一般的意义上是不成立的，是考虑了解析延拓之后的结果，实际上如果考虑解析延拓的话还能得到很多其他神奇的结果，比如：

全体自然数的和：

1+2+3+...=-1/12

还有全体自然数的平方和：

1²+2²+3²+...=0

全体自然数立方和：

1³+2³+3³+...=1/120

而且这些还真有实际的应用，要是没记错的话全体自然数的和等于-1/12这个在弦理论里面就有使用

这跟PWM（脉冲宽度调制）的原理是一样的，假设公式中的每一步计算非常快持续时间相等，那么输为幅值为1且占空比为50%的方波。将此方波信号其施加到对象的效果等于将幅值为1的阶跃信号施加到对象的效果的50%。

比如1代表亮，0代表不亮。一盏灯在亮于不亮之间快速切换，只要足够快，你就不会觉得闪烁，只会觉得灯的亮度比一直亮时候低。调整好1和0的时间比例就能调整亮度大小。PWM调光就是这种原理。

不过这题出得不严谨，没有说“加”和“减”这两个步骤后的持续时间是否相等，比如像上图那样的波形就大于50%。

左式为发散的无穷级数，可以进行切萨罗求和，且结果为0.5。

被称为α阶切萨罗平均。相应的级数求和方法称为切萨罗求和，简记为(C,α)求和。

(前置知识：大一高数)

你这个等式在Cesàro(切萨罗)求和意义下成立，在正常意义下左边的无穷和是发散的。

正常意义的级数和定义为部分和数列的极限。对于 ，有 。这个数列没有极限。所以正常意义里题主说的和是没有值的。而Cesàro求和的定义是，若 有极限 ，则说级数 的Cesàro和是 ，记为 。(C代表Cesàro)此例子中容易算出 。(请动手算一算)

Cesàro求和的知识一般会在Fourier分析处遇到。

PS：如果你看不懂，那么这个问题是不可能给你讲清楚的，最多给一点形象理解。好好学习天天向上～

就酱(

有人提到了期望的问题。之前我没有仔细想，但是这个确实还是可以产生关联的。因为：

若数列 的部分和数列为 ，随机取一个正整数 ，则随机变量 的数学期望正是级数 的Cesàro和。(如果存在)

感谢 @法国球 指正，上面这个期望的说法也不太严谨，只是一种「理解」罢了。

先问是不是，再问为什么。

如何得到1：

如何得到0：

如何得到0.5：

以上结果都是错的，这个和式发散，不能说它等于某个值。

看到评论区里面提到了加括号和Cesàro求和，这里说一下。

首先括号确实不能随便加，我这里这么写是为了通俗一点。（常规意义下）发散的真正原因就像最上面的 @inversioner 说的那样，设 ，则 不收敛于某个定值。

至于Cesàro求和。。。本人太菜没有学过，但看了看也能理解。在Cesàro求和意义下这个和式确实是0.5。但我寻思题目里也没说是Cesàro求和意义下啊（

这个答案排序太魔幻了，我怎么排在了一大堆不到 10 赞的答案后面

假装是 feature，不管它