如何通俗理解常微分方程，解对初值的连续依赖性？ 第1页

通俗的理解：当初值改变一点点的时候，整个区间上的解变化都不太大。

一提到应用，那就离不开微分方程的数值解。

我们知道电脑存储浮点数字是有误差的，那么从初值存储进电脑开始就引入了误差（比如double型大约只有16位精度），而后每一步数值方法会引入更多的误差。

那么如果一个微分方程的解不仅存在唯一，而且具有对初值的连续依赖性，我们就能知道如果初值误差不太大，数值方法也不会引入太大误差，从而保证数值方法的可靠性。

考虑颗粒随水流运动这个模型。假设 是颗粒的初始位置，(x(t),y(t))是颗粒的时间为t的位置。再假设在(x,y)这个点处的水流速度是 ，其中u是水平方向（x方向）的速度，v是垂直方向（y方向）的速度。由于颗粒被水流带动，于是颗粒的位置满足微分方程（1）

如图所示 是水流速度，曲线为颗粒运动轨迹。

那么通过解方程，我们得到了映射关系， ，这个映射建立了颗粒初始位置和t时刻位置的联系，我们称之为流映射。微分方程（1）的解对初值是连续的，即表示 是关于 是连续函数。而流映射 关于时间的连续性由微分方程（1）解的存在性保证。

在这个模型下，我们可以这么理解微分方程关于初值的连续性：假如两个颗粒无限靠近的话，他们在t时刻的位置应该也很靠近。如果我们考虑t=0时，有一块被染色的连通区域W，解对初值的连续性保证了这块染色区域在t时刻，应该仍是一块连通的染色区域（如下图所示）。

而如果解并不是关于初值连续，那么这个染色区域会被撕成多个部分。一个经典的连续性被破坏的例子就是浪花。很明显，波浪激起的水花已经脱离了水体，形成了多个不连通的区域，所以描述这个过程的速度场和解一定存在不连续性。

这里为了保证简洁性和不失一般性，我选择了二维的情况作为例子，事实上以上的结论对于任意维空间都成立。

@PHOBIA的回答中提到了

“我们知道电脑存储浮点数字是有误差的，那么从初值存储进电脑开始就引入了误差（比如double型大约只有16位精度），而后每一步数值方法会引入更多的误差。 那么如果一个微分方程的解不仅存在唯一，而且具有对初值的连续依赖性，我们就能知道如果初值误差不太大，数值方法也不会引入太大误差，从而保证数值方法的可靠性。”

如何通俗理解常微分方程，解对初值的连续依赖性？

这是一个有意思的观点，我想做一些补充。对于初值的连续性是保证误差不会太大的必要条件，并不是充分条件。比如方程y'=y, y(0)=y0,的解是y=y0*exp(t), 那么即使两个初值的差距很小，他们的差距会随着exp(t)的增大而趋向于无穷。实际上，误差是否会随时间增大而增大，是属于稳定性的研究范畴。这于方程有关，也与初值的取值范围有关。