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极小多项式有什么几何含义,怎么形象的理解这个概念? 第1页

  

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由Cayley-Hamilton定理,矩阵 特征多项式 有性质:



我们知道,多项式 可能不是次数最小且满足以上关系的多项式,所以就定义了极小多项式


理想


易知,如果存在多项式 , 满足



那么就有



也就是说:以极小多项式为因式的多项式,都可以将矩阵 映射为 矩阵,我们称这样的多项式为零化多项式。,我们将所有的零化多项式全部拿来,定义一个集合,符号记为 ,表示由极小多项式 生成的,我们称之为理想,更准确地说,是主理想,其中任意两个多项式的线性组合也在理想中。

在系数域为 多项式环 中,考虑 ,什么意思呢?就是 中所有元素都可以写为:



其中 ,这和整数环中的代余除法是一致的。


映射


考虑投影映射

简单地说,就是将多项式 映为除 的余式


我们发现, 的——也就是以 为象的原象集 恰好就是 !


如果对理想等理论感兴趣,可以作进一步了解。




  

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