在整环中，若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？ 第1页
1
smiledaniel 网友的相关建议:
好像并不对。
先仔细定义一下最大公约数。d=hcf(a,b)需要满足d|a, d|b并且任意满足这个性质的c都有d|c。同理l=lcm(a,b)应该是满足a|l, b|l并且任意满足这个性质的c都有l|c。
lcm存在推出hcf存在：
考虑d=ab/lcm。注意到d是ring里面的element，因为 。这个d也是hcf，因为首先 ；所以d是一个公约数。如果另外一个c也是公约数，那么 ，所以 。所以d就是hcf。
hcf并不能推出lcm反例：
考虑 的满足 是偶数的subring（因为0*0=0,0+0=0 mod2)，然后考虑 。hcf是1，因为 ，所以猜lcm是4x，但是取c=2x^3就有 。所以lcm不存在。
另一方面如果任意pair的两个hcf都存在，那确实可以推出lcm存在。更强的结论是
1
相关话题
代数、几何能否联系一起？自学交换代数（atiyah），却无能力自己证明书中的很多定理，是否表明完全不具备继续学习数学的潜力？
实数中乘法不是加法的复合么？为什么乘法与加法并列提及？
如图题，如何不用“强拆”的方式证明？
证明n维线性空间中任何n+1个向量都线性相关。?
请问这个抽象代数题怎么证明？
线性代数里的合同关系在空间中代表了什么呢？
根据这个四元四次方程组，计算 λ1 × λ2 × λ3 × λ4 的值。有什么简单方法？
对于一个整环而言，①任意两个非零元的最大公因子存在，②它的不可约元一定是素元，是否等价？
怎样直观的理解「极大无关组」，以及极大无关组的求法？
下一个讨论
复变函数问题。这个题该如何解决?
相关的话题
平面几何用代数法解几何的原理是什么？123456789组成的3×3的矩阵的行列式最大的值是多少？
如何理解命题「矩阵可对角化等价于其所有特征值的代数重数等于几何重数」？
如何看待最近PRL论文《量子力学四个假设是三个》的意义？
不使用范畴论，如何刻画一个线性映射是“自然”的？
学习数论图论有必要先学抽代和高代吗？
为什么实对称矩阵一定可以正交对角化？
n阶实方阵矩阵的换位子问题？
如何看待南昌大学2020线性代数期末考试，出卷人明知疫情期间学习效率低，仍故意极大提高试卷难度？
为什么我学过微积分、线性代数和概率论，还是看不懂机器学习？
为什么初学量子力学一个矩阵都没有看到，却说线性代数是量子力学的数学语言？
大一新生，学线性代数什么都不懂，怎么办?
设A,B,C均为n阶半正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是半正定阵.请问该怎么证明？
怎么用一句话证明 det(M1 M2)＝det(M1)det(M2)？
请问一下，如何证明有限生成R(交换幺环)-模的满自同态一定是同构呢？
如何证明若行列式 D 中有两行元素分别对应成比例，则 D=0？
如何证明Q[³√5]是域？
线性代数有什么用？学习线性代数的意义在哪？
有限维线性空间的有限是怎么理解？
证明n维线性空间中任何n+1个向量都线性相关。?
对于数学分析、微分方程、复变、代数学、拓扑学等数学课程你都见过哪些很有自己一派风格而不落俗套的教材?
为什么现代数学经常会关心整体性质？能不能举例详细说说？
请问能给出一个例子，使一个向量空间的子集只满足包含0且对加法封闭但不对标量乘法封闭吗？
解方程的实质意义是什么？
r个线性无关n维向量r<n的所有r阶子的平方和等于这r个向量张成平行体的体积的平方吗？怎么证明？
如何构造一个向量空间，它的元素是向量空间？
为什么矩阵行秩等于列秩？
矩阵的可交换性有什么几何意义吗？
高次韦达定理是什么？如何证明？
为何乘法比加法具有运算优先权？或者说加减乘除的本质是什么？