在整环中，若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？ 第1页
1
smiledaniel 网友的相关建议:
好像并不对。
先仔细定义一下最大公约数。d=hcf(a,b)需要满足d|a, d|b并且任意满足这个性质的c都有d|c。同理l=lcm(a,b)应该是满足a|l, b|l并且任意满足这个性质的c都有l|c。
lcm存在推出hcf存在：
考虑d=ab/lcm。注意到d是ring里面的element，因为 。这个d也是hcf，因为首先 ；所以d是一个公约数。如果另外一个c也是公约数，那么 ，所以 。所以d就是hcf。
hcf并不能推出lcm反例：
考虑 的满足 是偶数的subring（因为0*0=0,0+0=0 mod2)，然后考虑 。hcf是1，因为 ，所以猜lcm是4x，但是取c=2x^3就有 。所以lcm不存在。
另一方面如果任意pair的两个hcf都存在，那确实可以推出lcm存在。更强的结论是
1
相关话题
如何证明这个群论问题？请问能给出一个例子，使一个向量空间的子集只满足包含0且对加法封闭但不对标量乘法封闭吗？
奇异值分解（SVD）有哪些很厉害的应用？
1 不可以被 3 除尽，但为什么圆可以被三等分？
矩阵的本质是什么？
减一个负数，为什么是加这个数的相反数呢？
这道行列式如何求解？
高等代数证明和结论记不住怎么办？
i 的平方为什么等于 -1？
这个多项式问题从何入手进行求解？
下一个讨论
复变函数问题。这个题该如何解决?
相关的话题
如何证明任何有限域中的任何元素均可写成两数的平方和？维数可以是虚数吗？
据说是北大某年大一高代的最后一题？虽然很难，但就是想知道解答过程，还请会的大佬可怜可怜我这弱渣吧 ？
长方形矩阵的列空间和行空间是什么关系？
请问如何推导矢积的行列式表达呢？
线性代数到底应该怎么学？
椭圆的一般方程 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中心点坐标如何推导？
如何判断任意无理数的无理数次方是否为有理数或是无理数？
若零向量没有方向，那它还是向量吗？
为什么 A 为 n 阶满秩方阵时，Ax＝0 只有零解？
一个UFD是PID的条件是什么?
如何证明下面的矩阵秩的问题？
证明n维线性空间中任何n+1个向量都线性相关。?
是否存在一个比复数更大的数域，使得任意五次方程都有根式解？
二次型的惯性定理中「惯性」是什么意思？
如何将cos(nx)写成cosx的形式多项式？
如何将cos(nx)写成cosx的形式多项式？
代数好的人但立体几何不好的男生是智商低吗？
如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念？
如何理解矩阵特征值？
有哪些有趣的线性代数习题？
将斐波那契数列从左到右、从上往下地依次填入一个n*n的矩阵中，当n≥3时，行列式是否一定为0？
为何中学阶段不系统讲授一元三次四次方程？总感觉高中数学的很多内容在初中数学上没有根基，完全是空降的？
怎么证明分块矩阵（A B -B A）行列式非负，我感觉这是对的 但又说不清为什么？
为什么感觉群论学起来比数学分析之类难好多？
为了使R^n成为向量空间，R^n中的加法运算和数乘运算是唯一的吗？
把线性空间分解为不变子空间的直和有何用处？
李代数(Lie algebra)有哪些应用？
如何证明若a1≠a2≠…≠an，则m×n范德蒙矩阵V=aj^(i-1)有最大秩min(m,n)?
这个矩阵的秩如何证明？