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哪些数学命题可以用复数优雅地证明? 第1页

  

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说三个吧,第一个是我中学时看到的,直到现在我都觉得这个证明十分优雅。

(de Brujin) 若矩形 被划分成若干个小矩形,且每个小矩形都有(至少一条)整数边,则原矩形 也至少有一条整数边.

证明:考察任意矩形 ,设其两条边分别是 轴,顶点是 .

考察 上的积分 .

因为 ,所以

所以积分等于0等价于矩形有整数边.

现在考察 上的积分 ,因为每个小矩形都至少有一条整数边,所以 在每个小矩形上都是0,因此在 上也是0,从而 也有一条整数边. Q.E.D

第二个是泛函分析里的一个例子,关于Hilbert空间上有界正规算子的一个定理.

(Fuglede-Putnam定理) 是(复)Hilbert空间, 是其上的有界正规算子,设 也是 的正规算子且满足 ,则 .

证明:由 易知对任意 有 . 对 ,我们有

即 ,从而 .

由于 是正规算子,立知

记 ,显然其为整函数,容易验证其也是有界的,故由Liouville定理 是常数.

从而 即证. Q.E.D

最后是调和分析里重要的插值定理之一:

(Riesz-Thorin插值定理) 设 测度空间,设 是线性算子,且在 都有界,则对 也是有界映射. 进一步, 我们有

其中 .

证明:等我上午体检完再把证明写一写吧 >> 溜了溜了




  

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