哪些数学命题可以用复数优雅地证明？ 第1页

说三个吧，第一个是我中学时看到的，直到现在我都觉得这个证明十分优雅。

(de Brujin) 若矩形 被划分成若干个小矩形，且每个小矩形都有(至少一条)整数边，则原矩形 也至少有一条整数边.

证明：考察任意矩形 ，设其两条边分别是 轴，顶点是 .

考察 上的积分 .

因为 ，所以

所以积分等于0等价于矩形有整数边.

现在考察 上的积分 ，因为每个小矩形都至少有一条整数边，所以 在每个小矩形上都是0，因此在 上也是0，从而 也有一条整数边. Q.E.D

第二个是泛函分析里的一个例子，关于Hilbert空间上有界正规算子的一个定理.

(Fuglede-Putnam定理) 是(复)Hilbert空间， 是其上的有界正规算子，设 也是 的正规算子且满足 ，则 .

证明：由 易知对任意 有 . 对 ，我们有

即 ，从而 .

由于 是正规算子，立知

记 ，显然其为整函数，容易验证其也是有界的，故由Liouville定理 是常数.

从而 即证. Q.E.D

最后是调和分析里重要的插值定理之一：

(Riesz-Thorin插值定理) 设 是 测度空间，设 ， 是线性算子，且在 和 都有界，则对 ， 也是有界映射. 进一步， 我们有

其中 .

证明：等我上午体检完再把证明写一写吧 >> 溜了溜了