如何能更好地理解（ε-δ）语言极限的定义？ 第1页

这个回答主要是说一下一阶逻辑的博弈语义。

看到类似的问题还有很多，比如：

所以感觉还是有必要好好解释一下量词“任意 ”和“存在 ”到底是什么意思。

， ，很多初学微积分的同学都很难理解这种对极限的定义，所以只能靠直觉，把它理解为 在不断地向0移动，而 也随着 在动。可以看到，这种直觉式的、非数学化的理解在知乎上遭到了批评。人们会说， 并不是在向0移动，更不是它带动着 一起动，你应该理解成 可以取任何大于0的数，blabla...

这种批评当然是有道理的，但我不认为这样的批评对新人把握这一定义有丝毫帮助，尤其是对于刚从重技巧轻定义的高中数学中脱离出来的大一新生们。这个问题下 @Yuhang Liu 的回答我觉得对新人理解量词有很好的帮助，不过由于最近在看博弈相关的东西，我发现博弈语义更为直观，能帮新人更好地理解量词。下面给出量词的博弈语义的通俗描述。

现在要判断这样一个命题的真假：“对每个实数，都有比它更大的数。”，用形式语言来说就成了这样： 。我们都知道这个命题是对的，但怎么判断它是对的呢？现在假设F和T两人，F希望证明它错，T希望证明它对，于是就会发生类似下面这样的对话：

F: 有比100更大的数吗？ T: 101
F: 有比10000更大的？ T: 10001
F:99999呢？？？ T: 100000
......
F: 我服了

可以看到，不管A取了哪一个数试图证伪这一命题，B都能找到更大的数使得A的证伪不成功。由上可以总结一个规律：

• 对一个形如 的命题（ 是一个带有 的数学命题），可以假设有两个人（T/F）分别希望证明/证伪它。
• 现在从左到右读这个命题：
• 读到 量词时，让F去为 后面那个字母选一个值，把这个值代入到后面那个 当中；（比如上面F在几轮对话中分别选了100,10000,99999）
• 读到 量词时，让T去为 后面那个字母选一个值，同样也代入后面的 里。（比如上面T在几轮对话中分别选了101,10001,100000）
• 按这种方式读取这一命题，直至读完了全部量词，读到了最后这个 为止。

注意，这个 本身是没有真假的，比如在上例中， 就是这个 ，它在还没有选择 的值时根本无从讨论真假。但经过上述过程后， 里出现的所有字母都已经被T和F选择的具体的值所替代了，因此现在这个 就可以判断真假了，如果它为真，那么T就赢了；它为假，那F就赢了。

如果按照上述流程，不论F怎么选择，T都有获胜的办法（即T有必胜策略），那么 就是真的。反之，如果F有必胜策略，那么原命题就是假的。（在上述 的例子中，显然T有获胜策略，因此该命题为真。）

这种博弈式的解释其实跟传统的对量词的解释并无二致。传统解释是说， 不管 是多少，都有一个 跟它满足什么什么关系。这种解释只不过是在传统解释的基础上引入了两个博弈者，一个希望证明，另一个希望证伪。仅此而已。但它确实比传统解释要更容易理解得多。

这里再以数列极限的 定义为例，看看上述的博弈式解释具体怎么便于理解。假设数列 ，显然它的极限为0，极限为零的定义是这样： 。我上本科的时候，老师解释为“对任意小的 ，都存在足够大的 ，使得当 时， 与0的距离小于 ”。可是定义里并没有说 是任意“小”的啊，它只说了 是任意的，为什么不能是任意“大”？为什么这个存在的 是足够“大”的？这些都没有体现在定义里，但如果用博弈的方式来理解，T想证明 极限为0，F想证否，那么按照上述博弈流程，因为 在前 在后，所以F先为 选一个值。又因为F希望证否这个命题，而 又是处于小于号的右边，因此一个小的 比大的 更可能使F获胜。同理也可以解释为什么 要取足够大的值，因为更大的 更可能使得T获胜。

总结一下：按照在量词 在命题中出现的顺序， TF先后行动，为自己控制的变元字母选择一个值。这样一来，原命题为真（为假）就等价于T（F）有必胜策略。现在一个问题是，命题一定有真假，但博弈可不一定有某一方有必胜策略。不过好在这一点已经被证明了：上述博弈必有一方有获胜策略。

那么否定命题怎么办？比如证明某数列 极限不为0，也就是要证明 ，老师会告诉我们，这一命题等价于 ，初学者通常很难理解，为什么否定符号 可以移到里面去？为什么它移到里面去的时候，前面的量词 要互换？其实用博弈式解释就很好理解了。 意为 为假，即希望证伪的F有必胜策略，在后一个命题中， F是在 T 之前行动，它的选择不依赖于T，因此它的必胜策略一定是这样：

F发现有这么一个值，只要给 选这个值，那之后T不管给 选什么值，后面的 都为假。

这就等价于： 。因此， 等价于 。当然，也可以理解为，在 中，F是证伪的一方，而把这个命题否定后，它就变成了证明的一方，而T却变成了证伪的一方，因此要把它们互换一下。

总结一下：当看到带量词的命题时，从左到右读它，读到“任意”时，想想该怎么证伪这个命题，读到“存在”时，想想该怎么证明这个命题。这算是在“理解要执行，不理解也要执行，在执行中就能理解了”。

======下面是更深的东西======

量词是一阶逻辑中的符号，我在其他几个回答中对一阶逻辑的经典语义有过介绍。上面并不是我个人对一阶逻辑的通俗的、不严谨的理解，而是正经的一阶逻辑的博弈语义。上面已经介绍了量词与否定符号的博弈语义，只要再有逻辑连接词 的博弈语义，再加上经典的对谓词符号、函数符号的语义，就可以得到完整的博弈语义。 的语义也很简单， 的语义是这样：先由证明方选择 当中的一个，然后继续按上述流程博弈。比如 ，根据排中律左右两支显然有一个为真，那么T的必胜策略就是选择这个为真的一支就好了。

有了这些之后，我们可以用更严格的形式语言定义一整套关于一阶逻辑的博弈语义。如果对模态逻辑有了解的话，可以知道，模态逻辑中的模态词 （分别表示必然和可能）和一阶逻辑中的 很相似，因此对模态逻辑也可以给出相似的博弈语义：证伪的F和证明的T分别控制了 ，然后按模态词在模态公式中出现的先后顺序，在克里普克模型上选择相应的后继点就行了。又由于克里普克模型其实就是一种有向图，因此图论的许多问题也可用博弈重新定义一遍，比如图的连通性、两点间的可达性等等。又还有很多其他问题可以转化为图论问题......

博弈式解释能对这些领域的研究起到多大帮助还不知道，但这种交叉研究还是有意义的。它至少让我们对逻辑的本质提出了一些新的问题，逻辑哲学上对如何理解一阶逻辑的量词（尤其是“存在”）有太多的讨论，博弈语义又为这一讨论加了一种新的“动态式的”理解。

参考文献：Johan van Benthem: Logic in Games （读者需要有博弈论、一阶逻辑、模态逻辑以及一些信息、计算等方面知识背景）