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f(x,y)->(x,y),是2维实数空间的 一一映射函数,f连续,f的反函数是否也连续,why? 第1页

  

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感谢再次邀请。


命题: 连续双射 f :A→f(A),且 A 是 R² 的紧子集,则 f⁻¹ 在 f(A) 上连续。

反证法

若在某点Y₀处,存在序列

由 f 之连续性可知 f(A) 亦为紧集 ,序列极限Y₀是 f(A) 的聚点;序列满足关系式:



由Borel定理:有界序列必存在收敛子列



X₀’ 是闭集 A 的聚点。再由函数在 A 连续



以及双射性质


于是有

这导致了序列 Y 极限不唯一,矛盾。


Q.E.D



证明改来改去,基本功还是不够扎实。以上给出了条件稍强的情况下,反函数连续的证明,也就是大佬们所说的平凡结论。虽然凭我目前的能力,是证明不了更一般性的结论了,不过,这个定理相信足以应对绝大多数情况。请大佬们赐教 @王筝 @胖胖 @王靖




  

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