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如何证明若行列式 D 中有两行元素分别对应成比例,则 D=0? 第1页

  

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谢邀。


这个性质是行列式基本性质的推论,从定义论证才不致循环证明。


定义的回忆


从行列式的定义出发:

其中

置换σ是k个对换的乘积,而ε(σ)被称为置换σ的符号。ε(σ)为+1时,称置换σ为偶置换,反之,则称之为奇置换

定义和式中的每一项,来自于矩阵A不同行不同列元素的乘积。

(也有的课本用逆序数定义,其本质上是一样的。)


证明

我们将上图中的和式分成俩俩一组,每一组可以正负抵消。

具体做法如下:

已知有两行对应成比例:

如上图示意,当选取不同行不同列的元素组成α项

α = … a … b’ …

对称地,也会有β项

β = … a’ … b …

α, β两项在“…”处的元素完全一样。又因为两行对应成比例,不妨设:

k •( …, a, …, a’ , … ) = ( …, b, …, b’, … )

于是

α = … a … b’ … = … a … ka’ …

β = … a’ … b … = … a’ … ka …

于是

α = β


最后我们考虑α与β要佩带的符号ε:由上式可知α、β两者列标的排列,只差一个对换(或者逆序差1),于是ε(α)、ε(β)的符号相反,代入行列式中,像α、β这样的项最终两两抵消,故行列式为0


Q.E.D


另外,从几何直观性而言,行列式是在n维空间中,由n个共起点的行向量,所围成单纯形的有向体积(可能为负)。例,n=2时,是平形四边形面积;n=3时,是平行六面体体积。那么当行列式有两行对应成比例,即两行向量共线,此势必造成一个面退化为了一条线(降维),于是体积为0(最简单的情形,就好比在二维情况下,平行四边形的邻边共线,那么面积就为0了)。




  

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