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如何证明任意一个有偶数个顶点的图,一定存在两个点拥有偶数个共同邻居? 第1页

  

user avatar   constantine-85-33 网友的相关建议: 
      

反设任意两点公共邻居奇数,考虑下图,A点的邻居集合为紫色部分,注意到由反证假设紫色子图内每点度数为奇数,故有紫色子图共偶数个点(否则度数求和非偶),于是这实际推出任意点的度数都是偶数

那么再考虑任意B点到余下蓝色区域的边,必为偶数条,而我们考虑蓝色区域中任意C点到紫色区域的边数,必为奇数(由于C与A的公共邻居奇数),再考虑蓝色区域中的点数,为(偶数-偶数-1)是奇数。

于是从两方面考虑蓝色与紫色区域之间的边数的奇偶性即得


user avatar   yifanjing 网友的相关建议: 
      

写一下看到这个问题时我的第一反应的解法。

我们假设图 有偶数个顶点,任意两个顶点都有奇数个共同邻居。我们不妨假设图 的每个顶点都有偶数个邻居(否则我们可以将这个点的邻居和非邻居交换,可以验证图的其他性质不变)。

假设 是这个图的邻接矩阵。于是在 中, ,其中 是全 矩阵, 是单位矩阵。特别的, 是满秩的。

计 为包含每个点的邻居集的集合。对任意某个点的邻居集 ,记 为其indicator向量(即 中对应这个点的一行)。由于满秩,存在不全为零的 使得 其中 是全 向量。

对于任意 ,我们有

,

根据 的任意性且 不全为零,这与 为偶数矛盾。


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这题碰巧刚遇到过




  

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