可微函数在几何上有何特征？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
在多元函数中，在各个方向的方向导数存在，也不一定可微，反例我之后会给出。
但是可微的确有很强的几何特征：存在（超）切平面。这本质上还是从可微的定义而来的，相关内容可参考北师《数学分析》第三册，以及《流形上的分析》（J.R.曼克勒斯）有非常细致、精彩的分析。
反例
这个函数在 点的所有方向导数存在，但在 点不可微. 令 ，当 时
，
所以
显然所有方向导数皆存在，下面说明不可微性，甚至它还是不连续的！因为——
就是在这个很刁钻的角度下，函数值却不充分靠近函数值 .
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